Экстремум функций многих переменных

Для функции многих переменных термины «максимум функции» и «минимум функции» имеют тот же смысл, что и для функции одной переменной, а именно: этими терминами обозначаются наибольшее или соответственно наименьшее значение функции в точке по сравнению со значениями функции в точках, соседних с . Дадим строгое определение.

Определение. Пусть функция определена в области . Точка называется точкой максимума функции (соответственно, минимума), если существует такая окрестность точки , что для всех выполняется неравенство

.

Здесь

, ,

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема 1. (Необходимые условия экстремума). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если – точка экстремума функции и функция дифференцируема в этой точке, то

(1)

Точки, в которых имеют место равенства (1), называются стационарными.

Дифференцируемая функция может и не иметь экстремума в стационарной точке. Иначе говоря, необходимые условия экстремума, данные в теореме 1, не являются условиями, достаточными для наличия экстремума у функции в точке . Это подтверждает следующий пример.

Пример 1. Убедиться, что функция не имеет экстремума в стационарной точке.

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого сначала подсчитаем частные производные:

.

Приравняем частные производные к нулю:

при .

Итак, найдена стационарная точка . Значение функции в точке равно нулю. Но в сколь угодно малой окрестности точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Действительно, если , то , если же , то . Следовательно, в стационарной точке функция экстремума не имеет. Поверхность, определяемая уравнением – гиперболический параболоид – имеет в окрестности начала координат седлообразную форму.☻

Чтобы установить, действительно ли рассматриваемая функция имеет в стационарной точке экстремум, естественно обратиться к рассмотрению разности . Если для всех точек из некоторой окрестности точки справедливо неравенство , то в точке – по определению – функция имеет минимум (максимум).

Разложим разность по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, ограничиваясь двумя слагаемыми. Естественно при этом предположить, что функция дважды дифференцируема в окрестности точки . Так как точка предполагается стационарной, то . Значит, интересующая нас разность запишется в виде

,

Таким образом, знак приращения совпадает со знаком второго дифференциала функции в точке : .

Второй дифференциал функции в точке – это квадратичная форма от переменных , :

(2)

От свойств квадратичной формы зависит, сохраняет ли разность определенный знак в некоторой окрестности точки , иначе, имеет ли функция экстремум в точке .

Напомним соответствующие определения.

Определение. Квадратичная форма

, (3)

называется положительно (отрицательно) определенной, если () для любой точки , .

Если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то она называется знакоопределенной.

Квадратичная форма называется знаконеопределенной (знакопеременной), если и такие, что , а .

Теорема 2. (Достаточные условия экстремума). Пусть функция определена и имеет непрерывные производные 2-го порядка в некоторой окрестности точки , а является стационарной точкой функции. И пусть квадратичная форма (2) от переменных является положительно определенной (отрицательно определенной). Тогда

и является точкой минимума (соответственно максимума). Если же квадратичная форма (2) является знакопеременной, то разность не сохраняет знак в окрестности точки – экстремума нет.

Как выяснить, будет ли квадратичная форма (3) знакоопределенной? Ответ на этот вопрос дает теорема

Критерий Сильвестра. Для того, чтобы квадратичная форма (3) с матрицей (у которой ) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры матрицы были положительными:

, .

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с отрицательного, т.е. , .

Для функций двух переменных матрица соответствующей квадратичной формы (2) имеет вид (производные берутся в точке ):

Сформулируем достаточные условия экстремума для функции .

Теорема 3. Если в стационарной точке выполняется неравенство

, (4)

то функция имеет в экстремум, а именно:

минимум, когда ; максимум, когда .

Пример 2. Найти экстремумы функции .

Решение. Найдем стационарные точки, приравнивая нулю частные производные: ; . Получили стационарную точку , в которой функция может иметь экстремум.

Выясним, действительно ли имеется экстремум в стационарной точке , для чего обратимся к достаточным условиям.

Вычислим вторые производные , , и составим матрицу

.

Неравенство (4) выполняется: , Значит, данная функция имеет в начале координат экстремум, а именно, минимум так как . Вычислим . Поверхность, определяемая уравнением – это параболоид вращения с вершиной в точке (0,0,1). ☻

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Подсчитаем частные производные ,

Приравниваем производные нулю (необходимое условие экстремума):

Получили единственную стационарную точку – точку возможного экстремума. Чтобы выяснить, действительно ли имеется экстремум в точке , обратимся к достаточным условиям. Для этого подсчитаем

, ,

и составим матрицу . Находим её угловые миноры:

,

В силу достаточного условия в точке заданная функция имеет максимум. Находим .☻

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимое условие экстремума)

.

Получили две стационарные точки .

Проверим достаточные условия экстремума для стационарной точки . Для этого подсчитаем вторые производные

, ,

Составляем для точки матрицу и находим угловые миноры: , . В силу достаточного условия в точке имеется минимум. Находим .

Проверим, есть ли экстремум в стационарной точке . Подсчитаем

, , .

Составляем для точки матрицу и находим её угловые миноры: , . Достаточное условие экстремума не выполнено – в точке заданная функция экстремума не имеет.☻

Пример 4. Убедиться, что функция в точке имеет максимум. Найти максимальное значение функции.

Решение. Проверим сначала, является ли точка стационарной для заданной функции. Для этого подсчитаем частные производные в точке :

Равенство нулю производных в точке убеждает нас, что это действительно стационарная точка. Является ли стационарная точка точкой экстремума? Чтобы воспользоваться достаточными условиями экстремума, подсчитаем

,

,

Составим матрицу . Ее угловые миноры , , поэтому в точке имеется экстремум, а именно, максимум. Найдем

. ☻