Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Производная по направлению. Градиент



Пусть функция дифференцируема в области и пусть в этой области задано некоторое направление . Производная функции по направлению находится по формуле

(1)

Если производные вычислены в фиксированной точке , то формула (1) показывает скорость изменения функции в этой точке по направлению . Выясним, по какому направлению функция в данной точке возрастает быстрее.

Введем вектор с координатами . Такой вектор называется градиентом функции и обозначается символом :

(2)

Левая часть формулы (1) теперь может рассматриваться как скалярное произведение единичного вектора на вектор . Значит, можем записать

,

где – угол между направлением и градиентом. Отсюда видно, что производная достигает наибольшего значения, когда , т.е. когда направление совпадает с градиентом.

Таким образом, скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется градиентом функции.

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении . Чему равна величина градиента функции в этой точке?

Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), подсчитаем частные производные заданной функции в точке :

Значит, производная функции в заданном направлении равна

.

В соответствии с формулой (2) запишем градиент функции в точке :

Величина градиента (модуль вектора) равна . ☻

Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .

Решение. Подсчитаем сначала частные производные в точке :

.

Найдем направляющие косинусы:

.

По формуле (1) запишем

. ☻

Пример 3. Для функции определить угол между градиентами в точках и .

Решение. Подсчитаем сначала частные производные функции в точках :

Теперь можем записать градиент функции в каждой из этих точек:

,

.

Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

.

Значит, угол между градиентами равен . ☻





Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 863 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.017 с)...