Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть функция дифференцируема в области и пусть в этой области задано некоторое направление . Производная функции по направлению находится по формуле
(1)
Если производные вычислены в фиксированной точке , то формула (1) показывает скорость изменения функции в этой точке по направлению . Выясним, по какому направлению функция в данной точке возрастает быстрее.
Введем вектор с координатами . Такой вектор называется градиентом функции и обозначается символом :
(2)
Левая часть формулы (1) теперь может рассматриваться как скалярное произведение единичного вектора на вектор . Значит, можем записать
,
где – угол между направлением и градиентом. Отсюда видно, что производная достигает наибольшего значения, когда , т.е. когда направление совпадает с градиентом.
Таким образом, скорость наибольшего роста функции в данной точке (по величине и направлению) определяется градиентом функции.
Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении . Чему равна величина градиента функции в этой точке?
Решение. Чтобы воспользоваться формулой (1), подсчитаем частные производные заданной функции в точке :
Значит, производная функции в заданном направлении равна
.
В соответствии с формулой (2) запишем градиент функции в точке :
Величина градиента (модуль вектора) равна . ☻
Пример 2. Найти производную функции в точке в направлении, составляющем угол с положительным направлением оси .
Решение. Подсчитаем сначала частные производные в точке :
.
Найдем направляющие косинусы:
.
По формуле (1) запишем
. ☻
Пример 3. Для функции определить угол между градиентами в точках и .
Решение. Подсчитаем сначала частные производные функции в точках :
Теперь можем записать градиент функции в каждой из этих точек:
,
.
Скалярное произведение этих векторов равно нулю:
.
Значит, угол между градиентами равен . ☻
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 864 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!