![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция непрерывна в некоторой замкнутой области. Тогда в силу второй теоремы Вейерштрасса функция достигает в этой области своего наибольшего и наименьшего значения. Это может происходить во внутренней точке
, тогда для дифференцируемой функции
– стационарная точка, которую находим с помощью необходимых условий экстремума. Если же своего наибольшего (наименьшего) значения функция достигает на границе области, то выражают, например, переменную
из уравнения границы, подставляют в
и исследуют на экстремум полученную функцию одной переменной. Остаётся подсчитать значение функции во всех полученных точках и выбрать среди них наибольшее и наименьшее. Заметим, что при этом не надо проводить дополнительные исследования с помощью достаточного условия экстремума.
Пример 1. В области найти наибольшее и наименьшее значение функции
.
Решение. Функция непрерывна и дифференцируема на всей плоскости. Заданная область представляет собой прямоугольный треугольник .
1. Приравняем нулю частные производные:
.
Получили единственную стационарную точку , лежащую внутри треугольника. Значит, если функция
внутри области имеет экстремум, то это возможно только в точке
. Подсчитаем
.
2. Исследуем поведение функции на границе области.
а) На стороне :
.
Функция непрерывна на промежутке
, следовательно, достигает на нем наибольшего и наименьшего значения. Находим стационарную точку этой функции из условия
. Значит, если функция
внутри промежутка
имеет экстремум, то это возможно только при
. Значению
на стороне
соответствует точка
. Подсчитаем
.
Осталось найти значения функции на концах промежутка
:
. Это соответствует значениям функции
в углах
и
:
.
б) На стороне :
.
Находим на промежутке стационарную точку функции
из условия
. Значению
на стороне
соответствует точка
. Подсчитаем
.
Осталось найти значения функции на конце
::
. Это соответствует значению функции
в углу
:
.
в) На стороне :
.
Находим на стационарную точку:
. Значению
на стороне
соответствует точка
. Подсчитаем
. Значения функции в углах
и
уже найдены.
3. Выпишем значения функции в стационарных точках:
,
,
и значения функции в углах:
.
Среди этих значений выбираем наибольшее и наименьшее:
,
.☻
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 548 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!