![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Уравнение
(1)
связывает координаты точек на плоскости, задавая тем самым неявную функцию . Найти эту функцию явно из уравнения (1), вообще говоря, нельзя. Но производную
неявной функции
можно определить, продифференцировав тождество
по переменной
.
Пример 1.. Найти производную функции , заданной неявно уравнением
.
Решение. Пусть – функция, определяемая неявно заданным уравнением, то есть имеет место тождество
.
Продифференцируем это тождество по переменной :
.
Отсюда находим производную :
. ☻
Если частные производные функции
существуют и
, то производная
неявной функции
определяется из соотношения
.
Получаем формулу
. (2).
Пример 1а. Найдём другим методом производную функции , заданной неявно уравнением
(пример 1).
Решение. Подсчитаем частные производные
,
По формуле (2) получаем производную неявной функции :
(при условии ). ☻
Пример 2. Найти и
функции
, заданной неявно уравнением
.
Решение. Подсчитаем частные производные функции
:
,
.
В соответствии с формулой (2) запишем ,
. Продолжаем дифференцировать по переменной
, не забывая, что
:
.
Остается подставить уже найденную производную :
,
. ☻
Уравнение связывает координаты точек в трехмерном пространстве и задает неявную функцию
. Как и выше, не всегда можно найти саму функцию
, но можно найти ее частные производные
,
, продифференцировав тождество
по переменным
и
:
.
Из полученных соотношений находим
,
, (3)
Естественно, при этом предполагается, что частные производные функции
существуют и
.
Пример 3. Найти частные производные первого и второго порядков функции , заданной неявно соотношением
.
Решение. Подсчитаем частные производные функции :
,
,
.
В соответствии с формулами (3) запишем
,
,
Продолжая дифференцировать, получим (с учетом найденных ,
):
.
Естественно, полагаем . ☻
Пример 4. Найти частные производные функции , заданной уравнением
.
Решение. Можно не пользоваться готовыми формулами (3), а (см. пример 1) подставить предполагаемое решение уравнения – функцию в заданное соотношение и затем дифференцировать полученное тождество.
Дифференцируем тождество по
:
Дифференцируем по :
Оба равенства корректны, если . ☻
Рассмотрим случай, когда функции заданы неявно системой уравнений
(4)
Функции и их частные производные мы предполагаем непрерывными в некоторой области. Кроме того, предполагаем, что якобиан
Покажем, как получить частные производные неявных функций .
Пусть – именно те функции, которые определены системой (4). Подставляя эти функции в уравнения (4), получим тождества
.(5)
Дифференцируя эти тождества по переменной , получим систему линейных уравнений относительно неизвестных
:
(6)
Продифференцируем тождества (5) по переменной :
(7)
Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных .
По условию, определитель систем (6) и (7) . В силу теоремы Крамера каждая из этих систем имеет единственное решение.
Пример 5. Найти частные производные функций , заданных неявно системой уравнений
Решение. Записываем тождества
. (8)
Дифференцируем каждое тождество (8) по переменной :
Вычислим определитель системы (якобиан ):
.
Предполагаем, что .
Далее вычисляем
Остается по формулам Крамера найти
.
Теперь дифференцируем каждое тождество (8) по переменной :
Находим
Наконец, находим
. ☻
Если функции дважды дифференцируемы, то можно находить вторые производные неявных функций
, дифференцируя тождества (6) и (7).
Пример 6. Найти первые и вторые производные функций , заданных неявно системой уравнений
.
Решение. Записываем тождества
. (*)
Дифференцируем каждое их них сначала по
Полученную систему относительно неизвестных можно упростить с помощью первого из заданных уравнений, откуда
. Тогда
(9)
Дифференцируем тождества (*) по :
Второе из заданных уравнений дает , что позволяет записать систему относительно неизвестных
в виде:
(10)
Продолжая дифференцировать, находим
. ☻
Умение вычислять производные неявно заданных функций пригодится при изучении темы «Замена переменных».
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 1053 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!