Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Уравнение
(1)
связывает координаты точек на плоскости, задавая тем самым неявную функцию . Найти эту функцию явно из уравнения (1), вообще говоря, нельзя. Но производную неявной функции можно определить, продифференцировав тождество по переменной .
Пример 1.. Найти производную функции , заданной неявно уравнением
.
Решение. Пусть – функция, определяемая неявно заданным уравнением, то есть имеет место тождество .
Продифференцируем это тождество по переменной :
.
Отсюда находим производную :
. ☻
Если частные производные функции существуют и , то производная неявной функции определяется из соотношения
.
Получаем формулу
. (2).
Пример 1а. Найдём другим методом производную функции , заданной неявно уравнением (пример 1).
Решение. Подсчитаем частные производные
,
По формуле (2) получаем производную неявной функции :
(при условии ). ☻
Пример 2. Найти и функции , заданной неявно уравнением
.
Решение. Подсчитаем частные производные функции :
,
.
В соответствии с формулой (2) запишем , . Продолжаем дифференцировать по переменной , не забывая, что :
.
Остается подставить уже найденную производную :
, . ☻
Уравнение связывает координаты точек в трехмерном пространстве и задает неявную функцию . Как и выше, не всегда можно найти саму функцию , но можно найти ее частные производные , , продифференцировав тождество по переменным и :
.
Из полученных соотношений находим
, , (3)
Естественно, при этом предполагается, что частные производные функции существуют и .
Пример 3. Найти частные производные первого и второго порядков функции , заданной неявно соотношением .
Решение. Подсчитаем частные производные функции :
, , .
В соответствии с формулами (3) запишем
, ,
Продолжая дифференцировать, получим (с учетом найденных , ):
.
Естественно, полагаем . ☻
Пример 4. Найти частные производные функции , заданной уравнением
.
Решение. Можно не пользоваться готовыми формулами (3), а (см. пример 1) подставить предполагаемое решение уравнения – функцию в заданное соотношение и затем дифференцировать полученное тождество.
Дифференцируем тождество по :
Дифференцируем по :
Оба равенства корректны, если . ☻
Рассмотрим случай, когда функции заданы неявно системой уравнений
(4)
Функции и их частные производные мы предполагаем непрерывными в некоторой области. Кроме того, предполагаем, что якобиан
Покажем, как получить частные производные неявных функций .
Пусть – именно те функции, которые определены системой (4). Подставляя эти функции в уравнения (4), получим тождества
.(5)
Дифференцируя эти тождества по переменной , получим систему линейных уравнений относительно неизвестных :
(6)
Продифференцируем тождества (5) по переменной :
(7)
Получили систему линейных уравнений относительно неизвестных .
По условию, определитель систем (6) и (7) . В силу теоремы Крамера каждая из этих систем имеет единственное решение.
Пример 5. Найти частные производные функций , заданных неявно системой уравнений
Решение. Записываем тождества
. (8)
Дифференцируем каждое тождество (8) по переменной :
Вычислим определитель системы (якобиан ):
.
Предполагаем, что .
Далее вычисляем
Остается по формулам Крамера найти
.
Теперь дифференцируем каждое тождество (8) по переменной :
Находим
Наконец, находим
. ☻
Если функции дважды дифференцируемы, то можно находить вторые производные неявных функций , дифференцируя тождества (6) и (7).
Пример 6. Найти первые и вторые производные функций , заданных неявно системой уравнений .
Решение. Записываем тождества
. (*)
Дифференцируем каждое их них сначала по
Полученную систему относительно неизвестных можно упростить с помощью первого из заданных уравнений, откуда . Тогда
(9)
Дифференцируем тождества (*) по :
Второе из заданных уравнений дает , что позволяет записать систему относительно неизвестных в виде:
(10)
Продолжая дифференцировать, находим
. ☻
Умение вычислять производные неявно заданных функций пригодится при изучении темы «Замена переменных».
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 1040 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!