![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция дифференцируема в точке
и
– дифференцируемые функции в точке
. Тогда сложная функция
также дифференцируема в точке
и её производная вычисляется по правилу
(1)
Для функции , зависящей от трёх переменных, формула (1) принимает вид
(2)
Пример 1. Найти производную функции
, если аргументы
в свою очередь зависят от
:
.
Решение. Первый способ. В соответствии с формулой (1) запишем
.
Подсчитаем и
. Значит,
.
Второй способ. Можно было сразу записать сложную функцию , зависящую от одной переменной:
. Дифференцируем её:
☻.
Пусть функция дифференцируема в точке
, а функции
,
дифференцируемы в точке
. Тогда сложная функция двух переменных
тоже дифференцируема в точке
и её частные производные определяются по правилам
(3)
С увеличением количества промежуточных переменных в формулах (3) появляются дополнительные слагаемые. С увеличением количества внутренних переменных
ниже добавляются соответствующие производные.
Пример 2. Найти частные производные и
функции
, если
.
Решение. Задана сложная функция . В соответствии с формулами (3) запишем
Подсчитаем производные
Значит,
Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от двух переменных и дифференцировать её. ☻
Пример 3. Найти и
функции
.
Решение. Обозначим промежуточные переменные .
Подсчитаем частные производные функции по формулам (3):
(4)
Переходим к вычислению вторых производных. Заметим, что функции и
зависят от тех же промежуточных переменных
:
.
Поэтому они дифференцируются по тем же правилам, что и заданная функция , то есть их частные производные находятся по формулам (3):
(5)
Дифференцируем производные (4). С учетом полученных соотношений (5) получаем:
.
Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и
. ☻
Пример 4. Найти и
функции
.
Решение. Можно, как в предыдущем примере, ввести обозначения промежуточных переменных. Но мы просто их пронумеруем: – первая переменная,
– вторая переменная и обозначим
и
– частные производные функции
по первой и второй промежуточным переменным соответственно. В этих обозначениях соответственно формулам (3) запишем:
,
.
Продолжаем дифференцирование:
Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и
. ☻
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 321 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!