Дифференцирование сложных функций

Пусть функция дифференцируема в точке и – дифференцируемые функции в точке . Тогда сложная функция также дифференцируема в точке и её производная вычисляется по правилу

(1)

Для функции , зависящей от трёх переменных, формула (1) принимает вид

(2)

Пример 1. Найти производную функции , если аргументы в свою очередь зависят от : .

Решение. Первый способ. В соответствии с формулой (1) запишем

.

Подсчитаем и . Значит,

.

Второй способ. Можно было сразу записать сложную функцию , зависящую от одной переменной: . Дифференцируем её:

☻.

Пусть функция дифференцируема в точке , а функции , дифференцируемы в точке . Тогда сложная функция двух переменных тоже дифференцируема в точке и её частные производные определяются по правилам

(3)

С увеличением количества промежуточных переменных в формулах (3) появляются дополнительные слагаемые. С увеличением количества внутренних переменных ниже добавляются соответствующие производные.

Пример 2. Найти частные производные и функции , если

.

Решение. Задана сложная функция . В соответствии с формулами (3) запишем

Подсчитаем производные

Значит,

Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от двух переменных и дифференцировать её. ☻

Пример 3. Найти и функции .

Решение. Обозначим промежуточные переменные .

Подсчитаем частные производные функции по формулам (3):

(4)

Переходим к вычислению вторых производных. Заметим, что функции и зависят от тех же промежуточных переменных :

.

Поэтому они дифференцируются по тем же правилам, что и заданная функция , то есть их частные производные находятся по формулам (3):

(5)

Дифференцируем производные (4). С учетом полученных соотношений (5) получаем:

.

Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻

Пример 4. Найти и функции .

Решение. Можно, как в предыдущем примере, ввести обозначения промежуточных переменных. Но мы просто их пронумеруем: – первая переменная, – вторая переменная и обозначим и – частные производные функции по первой и второй промежуточным переменным соответственно. В этих обозначениях соответственно формулам (3) запишем:

,

.

Продолжаем дифференцирование:

Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻