Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Пусть функция дифференцируема в точке и – дифференцируемые функции в точке . Тогда сложная функция также дифференцируема в точке и её производная вычисляется по правилу
(1)
Для функции , зависящей от трёх переменных, формула (1) принимает вид
(2)
Пример 1. Найти производную функции , если аргументы в свою очередь зависят от : .
Решение. Первый способ. В соответствии с формулой (1) запишем
.
Подсчитаем и . Значит,
.
Второй способ. Можно было сразу записать сложную функцию , зависящую от одной переменной: . Дифференцируем её:
☻.
Пусть функция дифференцируема в точке , а функции , дифференцируемы в точке . Тогда сложная функция двух переменных тоже дифференцируема в точке и её частные производные определяются по правилам
(3)
С увеличением количества промежуточных переменных в формулах (3) появляются дополнительные слагаемые. С увеличением количества внутренних переменных ниже добавляются соответствующие производные.
Пример 2. Найти частные производные и функции , если
.
Решение. Задана сложная функция . В соответствии с формулами (3) запишем
Подсчитаем производные
Значит,
Можно было сразу записать сложную функцию, зависящую от двух переменных и дифференцировать её. ☻
Пример 3. Найти и функции .
Решение. Обозначим промежуточные переменные .
Подсчитаем частные производные функции по формулам (3):
(4)
Переходим к вычислению вторых производных. Заметим, что функции и зависят от тех же промежуточных переменных :
.
Поэтому они дифференцируются по тем же правилам, что и заданная функция , то есть их частные производные находятся по формулам (3):
(5)
Дифференцируем производные (4). С учетом полученных соотношений (5) получаем:
.
Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻
Пример 4. Найти и функции .
Решение. Можно, как в предыдущем примере, ввести обозначения промежуточных переменных. Но мы просто их пронумеруем: – первая переменная, – вторая переменная и обозначим и – частные производные функции по первой и второй промежуточным переменным соответственно. В этих обозначениях соответственно формулам (3) запишем:
,
.
Продолжаем дифференцирование:
Здесь принято, что – дважды дифференцируемая функция и . ☻
Дата публикования: 2015-10-09; Прочитано: 320 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!