Упражнения. Решить уравнение колебания бесконечной струны, удовлетворяющее условиям

Решить уравнение колебания бесконечной струны, удовлетворяющее условиям:

2.1.

Ответ: .

2.2.

Ответ: .

2.3.

Ответ: .

2.4.

Ответ: .

2.5.

Ответ: .

2.6.

Ответ: .

2.7.

Ответ: .

2.8.

Ответ: .

Решить уравнение колебания полубесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

2.9.

Ответ:

2.10.

Ответ:

2.11.

Ответ: .

2.12.

Ответ:

2.13.

Ответ:

Решить уравнение колебания бесконечной струны, удовлетворяющее условиям:

2.14.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.15.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.16.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.17.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.18.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.19.

Нарисовать профиль струны для моментов времени

Ответ:

2.3. Метод Фурье (метод стоячих волн) или метод разделения переменных

Метод Фурье или метод разделения переменных является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Суть этого метода мы продемонстрируем на примере задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение волнового уравнения с начальными и граничными условиями:

Уравнение линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться с помощью суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение. Частные решения будем искать в виде:

где X (x) – функция только переменного x; T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение, получим:

или, после деления на ,

.

Правая часть этоого равенства является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение:

,

где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :

Очевидно, что нас интересуют нетривиальные решения ().

Граничные условия дают:

Отсюда следует

.

Таким образом, мы приходим к простейшей задаче: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задач:

а также найти эти решения. Такие значения параметра называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи. Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр отрицателен, равен нулю или положителен.

1. При задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения имеет вид

,

Граничные условия дают:

;

.

Отсюда и, следовательно, .

2. При также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

.

Граничные условия дают:

;

.

Отсюда и, следовательно, .

3. При общее решение уравнения может быть записано в виде

.

Граничные условия дают:

;

Нетривиальное решение получаем только в случае или . Отсюда

.

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

,

где – произвольная постоянная.

Пусть , тогда собственными функциями являются

.

Аналогично решаем уравнение относительно :

,

где – произвольные постоянные.

Следовательно, функции

являются частными решениями данного уравнения. В силу линейности и однородности уравнения сумма частных решений также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям. Получаем общее решение:

.

Начальные условия позволяют определить :

;

.

Из теории рядов Фурье известно, что коэффициенты разложения в ряд Фурье вычисляются по формулам:

;

.

Подставив эти коэффициенты в общее решение, мы удовлетворим краевым условиям и получим решение уравнения.

Простейшие задачи Штурма – Лиувилля для уравнения .

Вид условия	Собственные значения и функции

Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение. Общее решение имеет вид

.

Из начальных условий определим :

Тогда .

.

Отсюда .

Подставив эти коэффициенты в общее решение, получим решение уравнения:

.

Можно построить в среде MATLAB поверхность решения данного волнового уравнения (рис.2.6).

Рис.2.6. Поверхность решения уравнения колебания ограниченной струны

[x,t]=meshgrid(0:.1:5);

u=1/8*sin(3*pi*x/10).*cos(3*pi*t/10);

mesh(x,t,u)

xlabel('x')

ylabel('t')

zlabel('u(x,t)')

title('u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t/10)')

Для лучшей визуализации напишем m-файл, который с частотой в 1 с будет демонстрировать графики решения рассмотренного выше волнового уравнения для различных моментов времени t (рис.2.7):

figure,axis([0 10 -0.15 0.15]),grid

hold on

x=0:.1:10;

t=0:.4:2;

color=rand(3,length(t));%случайный выбор цветов волн

for k=1:length(t)

u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t(k)/10);

plot(x,u,'LineWidth',2,'Color',color(:,k))

xlabel('x')

ylabel('u(x)')

title('Колебание струны u=1/8*sin(3*pi*x/10)*cos(3*pi*t(k)/10)')

legend('t=0','t=0.4','t=0.8','t=1.2','t=1.6','t=2')

pause(1)

end

Рис.2.7. График профиля колебания ограниченной струны для различных моментов времени

Построим анимацию в среде MATLAB колебаний конечной закрепленной на концах струны при начальных условиях, заданных в предыдущем примере:

x=0:.1:10;

for t=0:20;

u=1/8*sin(3*pi*x/10).*cos(3*pi*t/10);

plot(x,u,'r','LineWidth',2);

hold all;

xlim([0 10]);

ylim([-1/8 1/8]);

grid on;

xlabel('x');ylabel('u(x)');

M(t+1)=getframe;

pause(.2)

hold off;

end

movie(M,3)%повторяем 3 раза

Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны:

Решение. Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах (в точках 0 и 2). Здесь , т.е. , . Поэтому решение ищем в виде:

.

Подставим t = 0:

.

Используя первое начальное условие, получаем:

.

Можно подобрать коэффициенты A_n так, чтобы равенство выполнялось тождественно: при , следовательно, .

Чтобы использовать второе начальное условие, продифференцируем u (x, t) по t:

и подставим t = 0:

.

Таким образом, получаем условие

и подбираем коэффициенты:

при .

Итак, имеется всего два ненулевых слагаемых:

при . Окончательно, получаем решение:

Замечание. Часто начальная скорость точек струны y(х) = 0 (т.е. рассматриваются колебания струны, которую в начальный момент времени оттянули и отпустили без рывка), тогда, очевидно, В_n = 0.

Пример. Решить уравнение колебания ограниченной струны:

Решение: Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах (, ). Поэтому решение ищем в виде:

.

Используем первое начальное условие:

.

Подобрать коэффициенты A_n здесь нельзя, будем их вычислять как коэффициенты Фурье разложения функции на интервале (0, 3) по синусам:

Второе начальное условие тривиально, поэтому B_n = 0. Таким образом,

.

Заметим, что при , тогда

.