Метод Фурье для конечного стержня

Уравнение теплопроводности относится к уравнениям параболического типа.

Будем искать решение уравнения теплопроводности с начальными и граничными условиями:

Частные решения данного уравнения будем искать в виде:

где X (x) – функция только переменного x; T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение, получим:

или, после деления на ,

.

Правая часть этого равенства является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

,

где – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций и :

Очевидно, что нас интересуют нетривиальные решения ().

Граничные условия дают:

Отсюда следует

.

Таким образом, мы приходим к простейшей задаче: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задач

а также найти эти решения.

При решении уравнения колебания струны было доказано, что при и уравнение имеет только тривиальные решения, поэтому рассмотрим только случай . Тогда решение уравнения с учетом граничных условий имеет вид

,

а решение уравнения имеет вид

,

где – неопределенный пока коэффициент.

Тогда частные решения уравнения теплопроводности

,

а общее решение

.

Начальные условия позволяют определить :

Для выполнения этого начального условия необходимо взять в качестве коэффициент Фурье:

.

Для получения ответа необходимо подставить указанный коэффициент в общее решение задачи.

Пример. Найти решение уравнения теплопроводности при граничных условиях и начальном условии

Решение. Общее решение уравнения имеет вид

,

где .

Вычисляя данные интегралы, получим:

; .

Итак, . Так как , то .

Решение имеет вид

.