Вывод уравнения колебания струны

Рассмотрим натянутую струну длины l, закрепленную на концах. В положении равновесия струна направлена вдоль оси Ox. Сила натяжения T ₀, действующая на струну, предполагается значительной. Каждую точку струны длины l можно охарактеризовать значением ее абсциссы x и смещением этой точки в момент времени t.

Для упрощения задачи примем следующие предположения:

1. Будем рассматривать только поперечные колебания струны, предполагая, что движение происходит в одной плоскости, и что все точки струны движутся перпендикулярно оси Ox.

Тогда процесс колебания струны может быть описан одной скалярной функцией , которая характеризует (вертикальное) смещение точки струны с координатой x в момент времени t.

2. Будем рассматривать струну как гибкую упругую нить:

· математическое выражение понятия гибкости заключается в том, что напряжения, возникающие в струне, всегда направлены по касательной к ее мгновенному профилю. Это условие выражает собой то, что струна не сопротивляется изгибу;

· понятие "нить" означает, что мы пренебрегаем формой поперечного сечения и толщиной (рассматриваем линейную плотность ρ(x)).

3. Рассматриваем только малые колебания струны, т.е. будем считать, что смещение , а также столь малы, что квадратами этих величин по сравнению с единицей можно пренебречь, т.е. , .

4. Величина напряжений (силы натяжения) может быть вычислена с помощью закона Гука: сила натяжения, возникающая в струне, пропорциональна ее относительному удлинению:

,

где - удлинение струны; - начальная длина струны. Таким образом,

,

где k – коэффициент упругости.

O

Рис.2.1. Мгновенный профиль участка струны в момент времени t

Длина произвольного участка струны (рис.2.1) в любой момент времени выражается формулой:

.

Таким образом, получаем, что при условии малых отклонений длина произвольного участка струны сохраняется. А значит, можно считать, что величина сил натяжения точек струны не изменяется с течением времени, т.е. имеем .

Покажем также, что натяжение не зависит и от x. Найдем проекции натяжения на оси x и u (обозначим их T_x и T_u):

;

,

где α – угол касательной к кривой с осью x.

На участок действуют силы натяжения и внешние силы. Сумма проекции всех сил на ось x должна быть равна нулю (мы рассматриваем только поперечные колебания, т.е. струна не движется вдоль оси Ох). Так как внешние силы по предположению направлены вдоль оси u, то

или .

Отсюда в силу произвольности x и следует, что натяжение не зависит от x, т.е. для всех значений x и t:

.

Согласно второму закону Ньютона сумма сил, действующих на участок струны (см.рис.2.1), равна по величине и направлению вектору ускорения этого участка, умноженному на его массу. Определим величины всех сил, действующих на этот участок. Обозначим через плотность распределения внешних сил, вызывающих отклонение точек струны только в вертикальном направлении. Тогда величина внешних сил, действующих на участок , при условии непрерывности функции по переменной х равна:

Далее, силы натяжения (левая и правая соответственно) и , действующие со стороны левого (в точке ) и правого (в точке ) концов струны, направлены по касательным к мгновенному профилю струны в соответствующих точках.

Для вертикальной составляющей сил натяжения имеем выражение

.

Так как рассматриваем малые колебания, то

Таким образом, сумма сил, действующих на участок струны , равна:

(2)

С другой стороны, рассматривая участок струны как совокупность материальных точек, имеем

(3)

где – линейная плотность струны. Приравнивая выражения (2) и (3) и переходя к пределу при , для искомой функции получим уравнение:

или

где .

В случае, когда на струну не действуют внешние силы, получается уравнение свободных колебаний струны или волновое уравнение:

или

.

Волновыми эти уравнения называются потому, что они описывают распространение слабых возмущений в упругой среде (т.е. механические колебания с малыми амплитудами), которые в физике называют волнами. Волновые уравнения возникают также в задачах об электрических колебаниях, в гидродинамике и акустике, в теории упругости, при изучении электромагнитных полей.

2.2. Методы решения уравнения колебания струны

2.2.1. Метод Даламбера (метод бегущих волн) для бесконечной струны

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны (), т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или) сообщенный струне начальный импульс, обусловливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны. Эти причины описываются начальными условиями. Требуется найти профиль струны в любой момент времени.

Итак, рассмотрим задачу Коши для уравнения колебания струны:

(4)

где – функция, задающая форму струны в начальный момент времени; – скорость точки струны в начальный момент.

Уравнение решается в явном виде с помощью замены переменных :

где

;

Аналогично,

Подставляем в уравнение

Отсюда

.

Интегрируя это равенство последовательно по каждой переменной, получим:

.

Вернемся к старым переменным:

. (5)

Функция описывает волну, бегущую вправо со скоростью а, а функция – волну, бегущую влево.

Функция (5) является общим интегралом уравнения (4). Теперь необходимо удовлетворить начальным условиям:

Интегрируя последнее уравнение системы, получим:

где

Или

Складывая и вычитая уравнения данной системы, находим:

Отсюда

Подставляем эти выражения в формулу (5) и получаем решение волнового уравнения (формула Даламбера):

. (6)

Рассмотрим два частных случая.

Допустим, что , т.е. струне придана начальная форма при нулевой начальной скорости. Тогда решение (6) принимает вид

и, следовательно, представляет собой сумму двух бегущих волн: прямой волны и обратной волны . Первая перемещается по направлению оси ОХ, а вторая – в противоположном направлении.

При решение (6) имеет вид

.

Пусть

,

тогда

.

И в этом случае решение начальной задачи представляет собой сумму двух волн: прямой волны и обратной волны .

Заметим, что рассмотренная нами бесконечная струна является математической идеализацией реальных струн очень большой длины.

Пример. Решить уравнение колебания бесконечной струны , удовлетворяющее условиям:

Решение: Имеем задачу свободных колебаний бесконечной струны (без краевых условий). Применяем формулу Даламбера:

2.2.2. Фазовая плоскость

Для выявления характера решения волнового уравнения (6) удобно воспользоваться плоскостью состояний (x, t) или «фазовой плоскостью» (рис.2.2). Прямые и называются характеристиками уравнения (6). Функция вдоль характеристики сохраняет постоянное значение, функция постоянна вдоль характеристики .

Рис.2.2. Характеристический треугольник MPQ фазовой плоскости

Рассмотрим некоторую фиксированную точку и проведем из нее обе характеристики и , которые пересекают ось ОX в точках и . Треугольник MPQ называется характеристическим треугольником точки . Отклонение точки струны в момент времени зависит только от значений начального отклонения в вершинах P и Q треугольника MPQ и от значений начальной скорости на стороне PQ:

.

Начальные данные, заданные вне PQ, не оказывают влияния на значения в точке . Если начальные условия заданы не на всей бесконечной прямой, а на отрезке , то они однозначно определяют решение внутри характеристического треугольника, основанием которого является отрезок .

Решение можно представить в виде суммы

где

.

Наглядное представление о характере процесса распространения можно получить с помощью фазовой плоскости (x, t). Проведем характеристики через точки (– l, 0) и (l, 0). Они разбивают плоскость на шесть областей (рис.2.3).

Рис.2.3. Фазовая плоскость для бесконечной волны

Рассмотрим два случая.

Пусть на отрезке .

Если начальная скорость равна нулю, то отклонение есть сумма левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения.

Области 1, 6 – колебаний нет.

Область 2: – волна движется влево.

Область 5: – волна движется вправо.

Область 4: – волны складываются.

Область 3 – колебаний нет, отклонение равно нулю.

Пусть на отрезке .

Если начальное отклонение равно нулю, то представляет возмущение струны, создаваемое начальной скоростью.

Области 1, 6: колебаний и отклонений нет.

Область 2: – волна бежит влево с изменением формы.

Область 5: – волна бежит вправо с изменением формы.

Область 4: – волны складываются.

Область 3: – колебаний нет, но струна не возвращается в исходное положение (если постоянная не равна нулю).

Пример. Построить профиль струны при для различных моментов времени в случае

В этом случае прямая волна движется вправо, а обратная – влево (рис.2.4).

Рис. 2.4. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевой начальной скорости

Пример. Построить профиль струны для различных моментов времени в случае

Найдем выражение для :

так как в силу непрерывности при : , а при : .

В этом случае прямая волна движется вправо, а обратная – влево (рис.2.5).

Рис.2.5. Профили струны для различных моментов времени в случае нулевого начального отклонения

График изменения профиля струны с течением времени, например, для случая можно продемонстрировать в среде MATLAB:

a=1;

l=1;

dx=.01;

x=-4*l:dx:4*l;

u=1-abs(x);

u(abs(x)>l)=0;

u_left=.5*u;

u_right=.5*u;

for t=0:.25:1.25

subplot(3,2,4*t+1);

hold on

u1=circshift(u_left,[0 -a*t/dx]);

u2=circshift(u_right,[0 a*t/dx]);

plot(x,u1,'g-','lineWidth',2);

plot(x,u2,'b-','lineWidth',2);

plot(x,u1+u2,'r-','lineWidth',3);

xlim([-4*l 4*l]);

ylim([0 1]);

grid on

xlabel('x');

ylabel('u');

title(['t=' num2str(t)]);

end

2.2.3. Метод продолжений для полубесконечной струны

Рассмотрим задачу о распространении волн на полубесконечной прямой, (x ≥ 0). Следует отметить, что чаще всего имеют дело с жестким или свободным закреплением струны.

При анализе этих задач нам понадобятся леммы о свойствах решений уравнений колебаний, определенных на бесконечной прямой.

Лемма 1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки , то соответствующее решение в этой точке равно нулю: .

Доказательство леммы 1.

Примем за начало координат, . В этом случае условия нечетности начальных данных запишутся в виде

Функция при равна

так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе равно нулю, поскольку интеграл от нечетной функции в пределах, симметричных относительно начала координат, всегда равен нулю.

Лемма 2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки , то производная по x соответствующего решения в этой точке равна нулю: .

Доказательство леммы 2.

Условие четности начальных данных имеет вид:

Заметим, что производная четной функции является функцией нечетной: Рассмотрим производную:

;

.

Так как первое слагаемое равно нулю в силу нечетности , а второе – в силу четности .