Вывод уравнения теплопроводности

Рассмотрим однородный теплоизолированный с боков стержень конечной длины l имеющий постоянную по длине толщину, и настолько тонкий, чтобы в любой момент времени температуру тела во всех точках поперечного сечения можно было бы считать одинаковой.

Выберем ось х (направив ее по оси стержня) так, чтобы стержень совпадал с отрезком оси х.

Обозначим температуру стержня в сечении х в момент времени t через . Тогда функция описывает распределения температуры в стержне. Выведем дифференциальное уравнение для этой функции.

Выделим элемент стержня и составим для него уравнение теплового баланса, согласно которому скорость изменения количества тепла в рассматриваемом объеме, обусловленная теплоёмкостью материала, равна количеству тепла, поступившему в этот объем в единицу времени вследствие теплопроводности. Скорость изменения тепла в выделенном элементе стержня равна

,

где – теплоемкость материала стержня; – плотность материала; – площадь поперечного сечения. По теореме о среднем:

.

Теперь найдем количество тепла, поступившее в выделенный элемент стержня за единицу времени. Так как стержень теплоизолирован с боков, то тепло может поступать только через сечения, ограничивающие выделенный элемент стержня. Поэтому искомое количество тепла с учетом формулы Лагранжа равно:

,

где - коэффициент теплопроводности.

Составим уравнение теплового баланса

.

Разделим обе части этого уравнения на (объем выделенного элемента стержня) и устремим (тогда ). Получим

.

Это уравнение называется уравнением теплопроводности для однородного стержня. Величина называется коэффициентом температуропроводности.