Модель Клейна. Проверка аксиомы III(2-я аксиома), IV, V и VI групп. Неевклидовы симметрии в модели Клейна

III₂. Данное определение неевклидовой геометрии Л₂:

Удобно определять неевклид движения через преобразования (проективные, гиперболические, гомологии).

F(A^|→A) – l-ось гомологии, Р – центр. \

Строим образ.

Р€АА^|, Р€BB^|, ۷A,B Если точка М=АА ∩l, то (РМ,АА´)=1 ↔ f²=id или f=f^-1, f – инволюция.

Гиперболические гомологии f²=id получаются, если l и Р – поляра и полюс относительно овала ξ. ABCD – полный 4-хугольник, вписанный в овал.

A,B,C,D - вершины

P,Q,R’ – диагональные точки

PR=l, (MN,RQ)=-1, (LL’,RQ)=-1

PL=m, PL’=m’ – касательные

PQR – автополярный треугольник, каждая сторона которого, явл полярой противоположной вершины.

Все неевклид движения 1-го рода явл композицией симметрий.

S_l=f