Роль симметрии в евклидовой геометрии

Понятие симметрии вводится через понятие движения, т.к. люб движение евклид геометрии и неевклид геометрии Лобачевкого есть композиция осевых симметрий.Движения:1паралл. Перенос на в-р :τ 2.осевая симм отн ι:Sι 3.поворот на угол φ: 4. Скользящая симметрия Каждое из этих движений представимо в произ симметрий

P- сер [M, ] Q- сер [ , ] перп ι,

M перп m, | M |=| |, , м=> (М)= M

τ = . ||ι, M -симм ι M = f-скольз. симметрия P Q

Понятия «точки» и «прямые» могут быть определены через движения. Ι m

A<=>

ι<=> -ед. осевая симметрия

Евклидова и неевклид. Геометрии могут исслед из аксиом или на модели.При построении модели геом Лобачевского будет использ движение для описания неевклид движений.

Все теоремы евлид и неевкл геометрий можно вывести с помощью движений. Напр. Точки и прямые определяются через движения.

15.

В классических метрических геометриях (евклидовых), не евклидовой геометрии Лобочевского, сферической или элептической геометрии Римена ключевую роль играет движение без опоры на теорию параллельности сущ аксиоматики в которых движение входит в число первоночальных понятий. Соответствия аксиомы двух движений в таких аксиоматиках довольно сложные наиболее удобно вводить движения через понятия осевой симетри. Это возможно потому что любое движение в евклидовой геометрии и не евклидовой геометрии Лобочевского.

Для любого движения в евклидовой плоскости:

1. Параллельный перенос на вектор а.

2. Осевая симметрия

3. Скользящая симметрия

4. R-ротер.

Покажем, что каждая из этих движений раскладывается вкомпозицию или симметрию

S_l- осевая симметрия

RH₀-поворот вокруг т M₀ на угол фи.

T_a- параллельный перенос на вектор а

m∩l=M₀

ϕ>0 против час стрелке, ϕ<0 по часовой стрелке |M₀M’|=|M₀M”|=|M₀M|

a+b=4/2

угол M’OM”=2a+2b=ϕ

|M₀M|=|M₀M’| => R^ϕ _M0(M)=M” Для любых M => R^ϕ _M0=S_mS_l

Вектор MM’ перпендикулярен l M’M” перпендикулярно m

P середина [MM”], Q- сер [M’M”], [MM”] =|вектору а|, вектор MM”=вектору а

Т_а=S_mS_l T_a(M)=M”

T_a=S_MS_W f=U^a_l=S_mS_nS_l

F=T_aS_l