Непротиворечивость геометрии Лобачевского. Модель Клейна

Возьмем в качестве аксиоматики пл.Лобачевского ∑П,аксиоматику Погарелова в которой аксиома 2 Евклида заменена на 4 аксиому Лобачевского.

Построим модель,в которой ∑П вып. Модель Клейна

При построении этой модели и при ее исп. нужно основыв. на проективную геометрию,но если прямым способом задать формулы неевклидовой длины и опр. непосредственно неевклидовы движения,то эта модель будет основ. только на Евклидовой геометрии и тогда существование модели Клейна означает,что геометрия Лобачевского непротиворечива.

ξ –окр. и εLπ=k

1.Точки А2 – внутр. точки ξ –окр.

2.Прямые А2 (неевклидовы прямые) это l ×А2,

l -евклидова прямая.

Неевклидовы прямые это хорды без концов.

Отношения

1.Принадлежность

2.Непрерывность

Опр.так же в А2 через соотв. Евклидовы отношения отрезок и угол опред. обычным образом.

Длина отрезка и мера угла отличаются от Евклидовой

(1) Р(А,В)=R/2|ln(AB,uv)|- двойное отношение четырех точек. R- радиус кривизны.

(1’)Если на Евклидовой пл-ти ввести систему к-т,то (AB,uv) можно ввести через четыре определения без ссылок на проективную геометрию.

(AB,uv)= (ВА,uv)^-1 Р(А,В)=|ln(AB,uv)|

Если М между А и В

(AB,uv)= (uv,АВ)=uv1A/uv1B=λ/μ (uv,R)= λ

Далее опр. неевклидовы движения в А2.Удобно опр. неевклид. движения через

Проективные преобразованеия «гиперб.гомологии».

f(A)=A’,p-центр гомологии, l -ось гомологии.