Аксиома откладывания треугольника

В плоск-ти П треуг.АВС

В П^” луч А₁М, с прямой L₁ ,L₂ разбивает по аксиоме 2 одна из полуплоскостей считается выделенной, тогда сущ. причем единственный треуг А₁ В₁ С₁ в плоскости П, так что(АВ)=(А₁ В₁), отрезок А₁ В₁ С лучи А₁ М₁ и точка L принадл.выделенной полуплоскости.

Если отрезки равны по длинне, то они наз равными, если углы равны по величине, то они тоже наз.равными и треуг.АВС и треуг А₁ В₁ С₁ тоже наз равными.

Из этой аксиомы следует, что отрезки можно откладывать ед.образом на выбранных лучах и углы на выбранном луче тоже можно откладывать ед.образом.

5.Аксиома сущ.отрезка данной длинны:

Для любой d> 0 сущ.отрезок длинны d.

Из этой аксиомы и из других следует между точками Евклид.прямой 3.1 и 5 и мн-вом R можно установить взаимнооднозначное соответствие

6.Аксиома параллельности:

В L, в одной плоскости П!! Сущ, причем единств. L¹ в пересечL=пустое мно-во, в этой плоскости В L¹ , L¹||L, значит группы 1,2,3,4,5,6,7- описывают планиметрию.

Пространственные аксиомы С₁ ,С₂ ,С_3.

С₁ : на любой плоскости сущ.точки ей принадл.и не принадл.

С₂:Если 2 разные пл-сти имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

С₃: Если 2 различные прямые пересекаются в одной точке, то сущ.причем ед. образом плоскость проход.через эти прямые или содерж.их.

1,2,3,4,5,6,7+ 3 пространственные.

12.Непротиворечивость аксиоматики Погорелова ӏ и Vӏ группы…

Первое, что следует доказать-это непротиворечивость.Непротиворечивость Непротиворечивость Непротиворечивость Во всех трёх случаях непротиворечивость доказывается,основываясь на построении арифметической модели.Непротиворечивость

Будем рассматривать планиметрию аксиомы 1-6.Модель строится на основе R-теория чисел (ӏ) точки – это пары чисел (x₁,y₁)=A₁,где x₁ y₁ϵR. «Прямые»- это линейные уравнения с двумя неизвестными ax+by+c=0.. ,множество решений таких уравнений.Но известно,что если такие уравнения пропорциональны,то они определяют одну прямую,если (ӏӏ) A₁=(x₁y₁)

l: ax+by+c=0, A «принадлежит» l ax₁+by₁+c=0, т.е. (x₁y₁)-решение уравнения.Проверим аксиому (ӏ),т.е. через 2 точки А₁=(x₁y₁)…A₂=(x₂ y₂) существует l через них проходящая. =

«единственность»

Пусть есть 2 прямые ll′, A₁A₂ϵl

l: ax+by+c=0

l′: a′x+b′y+c′=0

Из теории линейных систем следует:

1) Ед. решение

2) решений

3)

= = т.е. l и l′ совпадают.

Теорема доказана.