Прямые в аксиоматике Вейля

(9)L(A,a)={M|AM=ta,t€R} A€E,

(10)[AB]={M|AM=tab,0<t<1}

(9)-совпадает векторным параметрич уравнением прямой

Теорема1: Если B€L,b=qa,e=|B,b|=L

Теорема2 сущ L=|AB| постулат 1 Евклида

Покажем,что в геометрии опред ξ_w вып-ся аксиома параллельности Евклида

B не принадл L

Теорема 4 (сущ-ние параллельности прямой) L*∩L=0

Пусть L=(A,a), L*=(B,a)

Д-во: от противного. Предп,что L∩L*=q,тогда Q€L=>AQ=t₁a. Q€L*=>BQ=t₂a

Тогда AB=AQ+QB AQ-BQ=(t₁-t₂)a B€L-противоречие с условием теоремы.

Плоскость в аксиоматике ξ_w также опред-ся через параметрич уравн

Если а=кaóa*||a коллинеарны, если не сущ к:а*=ка,то пл-сть проходящая через А с направляющ базисными в-рами а,в

П={M|AM=sa+tb} направл в-ры пл-сти П а,в можно заменить на пару c,d,если c не параллельна d и они выраж через а и в

c=c₁a+c₁b

d=d₁a+d₁b

c₁ c₂ ≠0

d₁ d₂

П=П*=(В,с,d),если В€П

Непротиворечивость аксиоматики Вейля

Непротиворечивость G_w аксиоматики Вейля подходит для метода координат и арифметическая модель G_w основывается на методе координат

Для простоты возьмём планиметрию n=2

IR – теория действ. чисел

U - теория на которой строится модель

E=IR²={(x,y)|x,y ͼ IR}

U=IR²={(a₁a₂)|a₁a₂ ͼ IR}

(+) (a₁a₂)+(b₁b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂)

A1: a+b=(a₁,a₂)+(b₁b₂)=(a₁+b₁,a₂+b₂)= (b₁+a₁, b₂+a₂)=(b₁b₂)+ (a₁a₂)

0=(0,0); -a=(-a₁,-a₂)

(.) ka=k(a₁a₂)= (ka₁ka₂)

A8: k(a+b)=k[(a₁a₂)+ (b₁b₂)]=k(a₁+b₁,a₂+b₂)=(ka₁+kb₁,ka₂+kb₂)=(ka₁ka₂)+(kb₁kb₂)= k(a₁a₂)+ k(b₁b₂)=ka+kb

Vгр.

L₁=(1,0)

L₂=(0,1)

тогда любой вектор a =(a₁,a₂)=a₁(1,0)+a₂(0,1)= a₁L₁+ a₂L₂

k₁L₁+ k₂L₂=0

0=k₁L₁+ k₂L₂= k₁(1,0)+k₂(0,1)= (k₁,0)+(0, k₂)=(k₁ k₂)=(0,0)=0 ó k₁=0 и k₂=0 в баз.(L₁ L₂)

dim U=1

a=(a₁,a₂)

b=(b₁b₂)

a+b=def= a₁b₁+a₂b₂

aa=((a₁,a₂) (a₁,a₂))=a₁²+ a₂²≥0

a₁²+ a₂²=0 ó a₁=a₂=0

a=(0,0)

ч.т.д

A=(x₁y₁)

B=(x₂y₂)

G(A,B)=AB=(x₂-x₁,y₂-y₁)

A14:

A=(x₁y₁), a=(a₁,a₂)

Ǝ! B=(x₁+ a₁, y₂+ a₂)

AB=a

C=(x₃y₃)

AB+BC=(x₂-x₁,y₂-y₁)+ (x₃-x₂,y₃-y₂)= (x₂-x₁+ x₃-x₂,y₂-y₁+ y₃-y₂)= (x₃-x₁,y₃-y₁)=AC

Таким образом построена модель G_w Евклидовой плоскости на основе теории IR. Это означает, что аксиомы G_w непротиворечивы, если не противоречива теория IR.

20.”начала ” Евклида,v постулат и эквивалентные ему утверждения

“начала ” Евклида(III в.до н.э.)”начала” (элементы) в этой книге была изложена геометрия Огромный вклад в геометрию (Египта,Вавилона,Др.Греции).Самое важное достижении Евклида это использование аксиоматического метода,т.е. построение научной теории по след. Схеме: 1. выделение некоторых понятий и отношений в качестве первоначальных. 2. составление списка аксиом,т.е. некоторого числа основополагающих св-в (применяемых без док-ва).3.вывод новых понятий,отношений,теорем из первоначальных строго логическим способом. При этом логика которая исп.при развитии теории это Аристотелева логика или формальная, или двузначная, построенная Аристотелем.

Основные з-ны Аристотелевой логики след.: 1.з-н тождества А=А, означающий,что понятия и отношения которые исп. данной теорией неизменны. 2.з-н противоречий,т.е. все высказывания могут быть либо истины либо ложны.Это означает двузначность этой логики. 3. З-н исключенного третьего(третьего не дано) (был поставлен под сомнение)

Евклид некоторым основным понятиям дает обязательное определение,наприм. Опр.точка – это то что не имеет частей. С современной точки зрения эти опр. Не строгие и излишние. И у самого Евклида эти опр.не исп. существенным образом. Гораздо существеннее то что некоторое отношение исп. сущ. При док-ве никак не описано. Наприм. Отношенпе между для трех точек на прямой.В док-х признаков рав-во треугольников существенно исп. движение.Сами аксиомы двух видов:постулаты и аксиомы.

Постулат v. Если две прямые пересечь третьей так что внутреннее односторонние углы меньше двух прямых углов, то эти две прямые пересекаются и с той стороны с которой сумма углов меньше двух прямых.(подразумевается, что все прямее в одной плоскости) Несмотря на логические недостатки с современной точки зрения ошибок и неправильных утверждений нет. На протяжении дальнейших веков геометрия развивалась и изучалась по книгам Евклида.Начало Евклида было первой вообще книгой которая была переведена на все языки (основные). Развитие геометрии шло в нескольких направлениях: 1) добавлялись новые аксиомы 2) доказывались новые теоремы 3)делались попытки док-ва пятого постулата. Исследования связанные с пятым постулатом привели к открытию геом. Лобачевского(1826г) Окончательное основание неевклидовой геом. Связано с построением модели геометрии Лобачевского.(вторая половина 19 века) в это же время была построена строгая теория действ. Чисел,открыта теория множеств,были заложены основы мат.логики.