Обратная матрица. Если – квадратная матрица, то обратной для неё называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям

Справочный материал.

Если – квадратная матрица, то обратной для неё называется матрица, обозначаемая и удовлетворяющая условиям

, где Е – единичная матрица.

Теорема. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (определитель матрицы не равен нулю).

Обратную матрицу можно найти двумя способами.

Первый способ (с помощью присоединённой матрицы).

, где – присоединённая матрица (получена транспонированием матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы ).

Можно записать:

.

Второй способ (с помощью элементарных преобразований). К матрице размерности приписывают справа единичную матрицу размерности . Получают прямоугольную матрицу размерности . С помощью элементарных преобразований над строками матрицу приводят к ступенчатому виду , где – треугольная матрица; затем матрицу приводят к виду

Пример. Дана матрица . Найти для неё обратную .

Решение.

Первый способ.

Вычислим определитель матрицы : . Так как , то матрица – невырожденная и для неё существует обратная.

Найдём алгебраические дополнения всех элементов матрицы .

;

;

;

;

;

;

;

;

Составим обратную матрицу:

.

Второй способ. Запишем матрицу :

.

С помощью элементарных преобразований приведём матрицу к ступенчатому виду.

1. Поменяем местами первую и вторую строки:

.

2. Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (–3), к третьей строке прибавим первую, умноженную на (–5):

.

3. Вторую строку умножим на 12, третью строку умножим на (–7):

.

4. К третьей строке прибавим вторую:

.

5. Вторую строку разделим на (–12):

.

Последнюю матрицу приведём к виду .

6. Разделим вторую строку на 7, третью строку разделим на (–5):

.

7. Ко второй строке прибавим третью, умноженную на :

.

8. Прибавим к первой строке вторую, умноженную на (–3):

.

9. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (–1):

.

Таким образом, .

Сделаем проверку. Для этого умножим обратную матрицу на данную матрицу , используя операции умножения матриц и умножения матрицы на число:

.

Так как в результате получилась единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно.

Ответ: .

Задание 8. Дана матрица . Найти для неё обратную .

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. 8. .

9. . 10. .

11. . 12. .

13. . 14. .

15. . 16. .

17. . 18. .

19. . 20. .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .