Ньютон (жанама) әдісі

Бұл әдістің хордалар әдісінен айырмашылығы -ншы итерацияда хорданың орнына қиыстығына нүктелерінде жанама жүргізіледі, сонымен бірге Ғ (х)=0 (1) теңдеудің, түбірі орналасқан кесіндісін табу қажет емес, оның орнына түбірдің алғашқы жуықтауы болатын санын алу жеткілікті.

функциясына координаталары және болатын нүктелерінде жүргізілген жанаманың теңдеуі

(2) болатыны белгілі.

Осы теңдеу бойынша ізделінді түбірдің келесі жуықтауы жанаманың осімен қиылысу нүктесі ретінде

(3)

қатыс арқылы табамыз.

Осы сияқты келесі жуықтаулар да т.с.с нүктелерде жүргізілген жанамалардың осімен қиылысыу нүктелері ретінде табылады. Сонда -ші жуықтаудың формуласы

(4)

болады. Сонымен бірге болуын да қарастыру керек. Итерациялық үрдісінің аяқталуы үшін шарттың орындалуы немесе екі қатар тұрған жуықтаулардың өте жақын орналасуы, яғни шарттың орындалуы қажет. Сонымен (3) формуладан, Ньютон әдісін қолданғанда есептеулердің көлемі бұрын қарастырылған әдістерге қарағанда көбірек болады, себебі әрбір нүктеде функциясының мәнін ғана емес оның туындысының да мәнін табу керек болады, бірақ Ньютон әдісін қолданғанда, басқа әдістерге қарағандағы жинақтылығының жылдамдығы көп болады.

3. Қателіктерін бағалау.

Енді Ньютон әдісінің жинақтылығы мен оны қолдану туралы кейбір мәселерге тоқтала кетейік.

Бұл жағдайда төмендегі теорема орынды.(оны дәлелдеусіз келтіреміз)

Теорема. Айталық (1) теңдеудің түбірі, болсын, яғни , ал болып үздіксіз бомын. Сонда түбірді қамтитын облыс табылып, егер осы облыста жатса, онда Ньютон әдісімен табылған мәндердің тізбегі да нүктесіне жинақталады.

Сонымен бірге қателік үшін

қатынас орынды болады.

Бұл қатынас әрбір итерацияда қателіктің квадрат дәрежеге шығарылады, яғни түбірдің ойдың белгілерінің шынайы саны екі еселенетінін көрсетеді. Егер

болса, онда болғанда бес- алты итерациядан кейін қателік дей болады.

Бұл қазіргі заманғы дәлдігі екі есе артқан ЭЕМ - дердегі қателіктердің ең кіші мүмкін мәні болып есептеледі. Ал осындай дәлдікпен есеп шығару үшін кесіндіні қақ бөлу әдісін қолданғанда итерациялардың саны 50- ден артық болар еді.

Ньютон әдісін қолданудағы бір қиындық бастапқы жуықтаудың облысында жатуын қамтамасыз ету болып табылады.

Сондықтан кейде қосарланған әдісті қолдану тиімді болады, яғни алдымен жинақты болатын бір әдіс (мысалы, кесіндіні қақ бөлу әдісі), ал бірнеше итерациядан кейін тез жинақталатын Ньютон әдісін қолданамыз.