Дәріс №2. Бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің сызықтық есебі. Түбірді жекелеу. Кесіндіні қақ бөлу

Жоспар:

1. Есептің берілуі.

2. Графиктік әдіспен түбірді жекелеу.

3. Аналитикалық әдіспен түбірді жекелеу.

4. Кесіндіні қақ бөлу әдісі

Кілттік сөздер: График, аналитикалық, механика, физика, жекеленген түбір

1. Есептің берілуі.

Бір белгісізі бар сызықты емес теңдеулерді шешу - қолданбалы математиканың, механиканың, физиканың және тағы да басқа аймақтардың әртүрлі бөлімдерінде туындайтын ең маңызды есептердің бірі болып табылады.

Сызықтық емес теңдеулерді жалпы жағдайда келесі түрде жазуға болады:

Ғ (х)=0 (1)

мұндағы, Ғ (х) функциясы [ а; b ] аралығында анықталған және үздіксіз. Кез-келген Ғ (х) функциясын 0-ге айналдыратын кесіндісінде саны табылып, сонда = 0 болса, онда нүктесі (1) теңдеудің түбірі деп аталады.

Сандық әдістер пәнінде бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің екі кезеңі бар:

1. Түбірлерді жекелеу;

2. Жекеленген түбірдің дәл мәнін белгілі бір әдіспен шешу.

1. Түбірді жекелеу дегеніміз - берілген теңдеудің түбірі жататын [a,b] кесіндісін анықтау. Теңдеудің түбірлерін табу - дегеніміз функцияның шеткі нүктелерін анықтау.Түбірді жекелеудің екі түрі бар:

2). Графиктік әдіс.

Берілген f(X) функциясының графигін сызамыз, сол аралықтан түбір жататын аралықты аламыз.

Егер f(х)- тің графигін салу күрделі болса немесе қиынға түссе, онда оны екі функция түрінде бөліп аламыз да, олардың жеке-жеке графиктерін саламыз. Содан соң олардың қиылысу нүктесін шешім ретінде қабылдаймыз (1-сурет).

Мысалы:

1-сурет. Күрделі функциядан түбір табу кескіні.

Көп жағдайда күрделі функциялардың шешімін табу үшін берілген F(x) функцияның мәнінің қай аралықта жатқандығын анықтау үшін графикалық тәсілді қолдану ыңғайлы. Бұл, көп жағдайда күрделі функцияларды шешу үшін қолданылады.

3) Аналитикалық әдіс.

Түбірді жекелеудің аналитикалық әдісі дегеніміз - формула түрінде берілген теңдеуді зерттеу арқылы түбір жатқан аралықты табу керек.

Аналитикалық әдісті зерттеу үшін: f(х)= 0 теңдеуі беріледі, [а,b]-аралығында

f(а)*f(b)< анықтау керек.

1. F(x) Функцияның 1- ші ретті туындысын f'(Х)- анықтау керек.

2. f'(Х)= 0 функциясының қауіпті нүктесін табу керек.

3. Осы қауіпті нүктесіндегі функцияның анықталу облысындағы таңбасын анықтау керек.

4. Функция таңбаларының кестесін анықтап олардың ара қашықтығын жиілету керек.

2. Жекеленген түбірдің дәл мәнін белгілі бір әдіспен шешу.

Атап айтатын болсақ: Бір белгісізі бар теңдеулерді шешудің сандық әдістеріне «кесіндіні қақ бөлу», «хорда», «жанама», «аралас» және «жай қайталау» әдістері жатады.

4) Дихотомия кесіндіні қақ бөлу әдісі.

1) Бізге f(х)=0 теңдеуі берілген.

2) f(х) - үздіксіз болсын.

3) ол екі рет туындалатын болсын, олар [а,b] - аралықтарында таңбаларын өзгертпесін. (1)-теңдеудің бір түбірі [а,b] аралықтарында жатсын. яғни осы аралықтың шеткі нүктелерінде f(х)- әр түрлі мән қабылдасын (2-сурет).

f(а)*f(b)<0

Бізге (1)-ші тендеудің -түбірін є-дәлдікпен анықтау керек.

Ол үшін берілген f(х)- функциясының шеткі нүктелерін алып, оны қақ бөлеміз. 1) Бізге керегі
f(а)*f(b)<0 шарт орындалу керек;

2) Үздіксіз болу қажет;

3) f(х), f(х)- таңбаларын өзгертпесін,

f(а)f(b)>0

Біздің шарт орындалмайды, демек бізге керегі жоқ, онда лақтырып тастаймыз. Енді [а₁,b₁]-аралығын қарастырайық:

f(а₁)*f(b₁)<0.

2-сурет. Дихотомия әдісінің жалпы көрінісі

Осылай жүргізген амалымызды бірнеше рет қайталаймыз, қателікті есептейтін келесі процесс орындалғанша:

болғанша жалғастырамыз.

f(а_n)*f(b_n)<0.

Демек, кесіндіні қақ бөлу әдісінің жалпы формуласы келесі түрде беріледі:

бірақ, кесіндіні қақ бөлу әдісінің формуласын қолдана отырып есептер шығару үшін, төмендегі шарт міндетті түрде орындалу керек:

, мұндағы, -ді 0-ге барынша жуықтағанша жалғастырамыз.