Дәріс №5. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің итерациялық әдістері

Кілттік сөздер: Итерациялық әдістер, Сығып бейнелеу, принцип, метрика, метрикалық кеңістік

Итерациялық әдістерді біртіндеп жуықтау әдістері деп қарастыруға болады. Итерациялық әдістерді қолданғанда әдетте алғашқы жуықтауды анықтау керек болады. Одан кейін итерация деп аталатын есептеулер циклы орындалады. Итерация нәтижесінде жаңа жуықтау алынады. Осындай итерациялар белгілі бір дәлдік-пен табылған шешуді тапқанға дейін жалғастырылады.

Итерациялық әдістерді пайдаланып сызықтың жүйелерді шешу тура әдістерге қарағанда күрделірек. Өйткені, есептеулер көлемін алдын-ала білу мүмкін емес.

Дегенмен итерациялық әдістер дәл әдістерге қарағанда тиімдірек, себебі итерациялық әдістерді қолдану бүкіл матрицаны жадта сақтауды талап етпейді, оның есептеулерге қажет бөліктерін ғана сақтауды керек етеді. Кейде матрицаның элемменттерін сақтамай-ақ оларды есептеу үрдісінде есептеп шығара береді. Итерациялық әдістерді пайдаланған кезде түпкі нәтижелерге қателіктер жинақ-талмайды, өйткені әрбір итерациядағы есептеу дәлдігі алдыңғы орындалған итерацияға тәуелді болады және алдыңғы ретте жүргізілген есептеулерге тәуелсіз болады. Итерациялық әдістердің осы айтылған ерекшеліктері оларды теңдеулер саны көп болатын және нашар жағдайластырылған жүйелерді шешуге тиімді түрде пайдалануға мүмкіндік береді. Бұл жерде кейде итерацияның өте жай жинақталатын жағдайларын да ескеру қажет, ондай жағдайда оның тиімді жолдары іздестіріледі.

(1) жүйені келесі түрде жазайық:

(2)

Оны қысқаша (3)

түрде жазамыз. (3) теңдіктердің оң жағы (4)

түрдегі бейнелеуді береді. бейнелеу өлшемді кеңістіктегі нүктені сол кеңістіктегі нүктеге түрлендіреді.

(3) формулаларды пайдаланып және бастапқы нүктені алып өлшемді кеңістіктегі нүктелердің ( скаляр теңдеудегі итерациялық әдіс сияқты) тізбегін аламыз.

(5)

Жай итерация әдісін қолданып берілген жүйені шешкенде (5) тізбектің жинақты немесе жинақсыз болатындығын анықтау керек болады. Ол үшін() математикалық анализ курсынан белгілі кейбір мәселелерді еске түсіре кетейік.

жиынының және элементтері үшін анықталған функция төмендегі шарттарды:

1)

2) болғанда ғана, тек сонда ғана болады.

3)

4) элементтер үшін қанағаттандырса, онда функцияны метрика деп атаймыз. Ал осылайша анықталған метрикамен қоса алғанда жиынын метрикалық кеңістік деп атаймыз.

Егер метрикалық кеңістіктің нүктелерінің тізбегі үшін санына сәйкес сан табылып, болатындай барлық сандар үшін теңсіздік орындалса, метрикалық кеңістіктің нүктелерінің тізбегі фундаменталь тізбек деп аталады.

Егер метрикалық кеңістіктегі кезкелген фундаменталь тізбек жинақты болса, онда кеңістікті толық кеңістік деп атаймыз.

бейнелеу метрикалық кеңістікте орындалатын бейнелеу болсын, пен кеңістіктің нүктелері, ал осы нүктелердің бейнелері болсын.

Егер болатындай саны табылып, кеңістігінің және екі нүктесі үшін

(6)

теңсіздік орындалса, онда кеңістікті өзіне -өзін бейнелейтін бейнелеу сығып бейнелеу деп аталады.

Егер кеңістіктің нүктесі үшін теңдік орындалса, онда

нүктені бейнелеудің козғалмайтын нүктесі дейміз.(3) жүйеге қатысты қозғалмайтын нүкте деп оның шешімін айтамыз.

Сызықтық теңдеулер жүйесін жай итерация әдісімен шешуде төмендегі теорема маңызды роль атқарады.

Сығып бейнелеу принципі. Егер толық метрикалық кеңістіктегі сығып бейнелеу болса, онда теңдік орындалатындай бір ғана қозғалмайтын нүкте табылады. Сонда бастапқы мүшесі болатын бейнелеу үшін құрастырылған итерациялық тізбек нүктесіне жинақты болады деген сөз.

Бейнелеудің жылжымайтын нүктесі мен жуықтаудың ара қашықтығын бағалау

(7)

формула арқылы орындалады. (7) баға сығып бейнелеу принципін дәлелдеу барысында алынады. Егер -ші жуықтауды нолінші жуықтау деп есептесек, ал -ншы жуықтауды бірінші жуықтау ретінде алсақ, онда (7) формуланың орнына (8)

формула аламыз. Мұндағы сығу шартынан шығатын көбейткіш.

Сөйтіп, сығып бейнелеу принципін пайдаланып (4) жүйені шешкенде (5) қатыстармен берілген бейнелеу сығып бейнелеу болатынын көрсету жеткілікті. Осылай болған жағдайда итерация әдісін (4) тиісті шешуге қолдануға болады, сонымен бірге ол шешім бастапқы жуықтау кезкелген болғанда берілген дәлдікпен табылады.