Дәріс №1. Кіріспе. “Сандық әдістер” курсы пәні оның мақсаты мен міндеттері . Қателіктер теориясы

Жоспар:

1. “Сандық әдістер” курсы пәні оның мақсаты мен міндеттері.

2. Қолданбалы есептерді шешу кезеңдері.

3. Есепті шешудегі қателіктердің классификациясы.

Кілттік сөздер: Сандық әдістер, математикалық модель, алгоритм, ЭЕМ.

1. “Сандық әдістер” курсы пәні оның мақсаты мен міндеттері.

“Сандық әдістер” пәні оның мақсаты мен міндеттері оның қажеттілігі, өзектілігі жөніндегі мәліметтер силлабустың бас жағында толығымен келтірілді.

Ғылым мен техниканың қарқындап дамуы және электрондық есептеу машиналарының (ЭЕМ) жоғары сапалы түрлерінің пайда болуы табиғаттағы зерттелетін құбылыстардың математикалық модельдері болып табылатын есептерді құрастыруды және оларды қойылған есептің шарттарына лайық етіп берілген дәлдікпен шеше білу мәселесін алға қойып отыр.

Сондықтан оларды әрбір ғылым саласына лайықты түрдегі мүмкіндіктеріне қарай пайдалана білу керек.

Қазіргі заманда ғылыми техникалық есептердің тиімді шешудің дәрежесі ЭЕМ-ді дұрыс қолдана білуге байланысты. Осы мақсат үшін қуатты және ыңғайлы жалпыға ортақ дербес үлкен және кіші электрондық машиналар ғана емес сонымен бірге сандық әдістерді есептеуге ыңғайлы жаңа өңделген құралдар баршылық.

Қалай болса да есептеу процесінің әрқайсысының өз қиындығы бар және соңғы нәтиженің ақиқаттығына ықпалын тигізетін бірнеше кезеңнен өтеді. Зертханалық есептердің шешуі дұрыс берілген мәліметтерден және есептің мақсаты қатаң түрде алынған математикалық ұғым түрінде сипатталуынан басталады. Шарттың нақты тұжырымымен шешудің мақсаты ол математикалық есептің қойылуы. Шешімнің бұл кезеңі м атематикалық модельдердің тұрғызылуы деп аталады.

2. Қолданбалы есептерді шешу кезеңдері.

ЭЕМ-ді қолдана отырып есептерді шешу жалпы жағдайда келесі кезеңді қамтиды:

· есептің берілуі;

· математикалық моделін құру;

· алгоритмдері өңдеп талдау;

· есептің алгоритмін жазу;

· программасын құру;

· ЭЕМ-де есептеп шығару;

· алынған нәтижені талдау.

Бұл кезеңдердің ішіндегі ең күрделісі және жауаптысы математикалық модельдерді құру болып табылады.

3. Есепті шешудегі қателіктердің классификациясы.

Есептеулер процесінде жуықталған сандармен жұмыс істеуге тура келеді. А-кейбір шаманың дәл мәні делік. Келешекте А санын дәл сан деп аталық. А шаманың жуықталған мәнін немесе жуықталған санын делік, яғни А шаманың дәл мәнін ауыстыратын санын жуықталған сан деп аталық.

Егер <A болса, онда санын А санының кемімен алынған жуықталған мәні деп атайды.

Егер >A болса, онда санын А санының артығымен алынған жуықталған мәні деп атайды.

Мысалы: 3,14 саны санының кемімен алынған жуықталған мәні болса, ал 3,15 сол санының артығымен алынған жуықталған мәні болады. Осындай жақындаудың дәлдік дәрежесін сыйпаттау үшін "қателік” ұғымын пайдаланады.

(1.1)

айырымын жуықталған санының кателігі деп атайды. Мұнда А-сәйкес дәл сан.

Анықтама: Жуықталған санның абсолюттік қателігі деп осы санның қателігінің абсолют шамасын айтады, яғни оны былай жазады:

(1.2)

Әдеттегідей дәл А саны белгісіз болатындықтан “шекті абсолют қателік” ұғымын пайдаланады.

Анықтама. Жуықталған санының шекті абсолют қателігі деп осы санының абсолют қателігінен аз болмайтын санды айтады, яғни

(1.3) Ол сан бірмәнді анықталмайды: оны өсіруге болады. Сонда (1.3)-тен алатынымыз:

(1.4)

Демек,

, (1.5)

яғни кемімен алған А санының жуықталған мәні, ал – А санының артығымен алынған жуық мәні. (1.5) формуланы қысқаша былай жазуға болады: (1.6)

Практикада шаманың дәлдігін түсіну кезінде шекті абсолют қателігін пайдаланады. Мысалы, егер екі пунктің S=900 м тен арақашықтық 0,5 м дәлдікпен алынса, онда S шаманың дәл мәні

899,5 м < S < 900,5 м

шекаралықты алынатын болады.

Әдетте абсолют қателік ( ) екі-үш маңызды (значащие) таңбалы санмен жазады, ал маңызды таңбаларды санау кезінде сол жақтағы нольдер саналмайтынын естен шығармау керек. Мысалы: 0,004060 санында 4 маңызды таңба бар.

Мысалы: Қандайда бір есептеу машинасына тек 3 маңызды таңбалы сандарды ғана енгізу мүмкін болсын. онда санын қандай дәлдікпен енгізуге болады. Шешімі: деп алуға болады.

Жуықталған санның дәлдік дәрежесін сипаттау үшін абсолюттік немесе шекті абсолют қателік ұғымдары жеткіліксіз. Жуықталған сандардың дәлдігінің елеулі көрсеткіші олардың салыстырмалы қателігі.

Анықтама. Жуықталған санының салыстырмалы қателігі деп осы санның абсолют қателігінің сәйкес дәл А санының модулына қатынасын айтады.

Оны былай белгілейді:

(1.7)

Анықтама. Жуықталған санының шекті салыстрмалы қателігі деп салыстырмалы қателіктен кем емес санын айтады, яғни

(1.8)

Егер (7) ескерсек, онда (8) келесі түрде жазуға болады:

(1.9)

Демек, егер (1.3) пен (1.9) салыстырсақ, онда санының шекті абсолют қателігі етіп келесі теңдікті жазуға болады:

(2.10)

Егер етіп қабылдасақ, онда (2.10) формуласын былай жазуға болады:

(2.11)

Егер (2.11) теңдікті пайдалансақ, онда (2.5) теңсіздік келесі түрде түрленеді:

немесе

(2.12)

Егер шекті салыстырмалы қателік берілсе, онда (2.10) формула бойынша шекті абсолют қателікті анықтауға болады.

Мысалы: %

Жуық санның салыстырмалы қателігі ондағы дұрыс таңбалардың санымен байланысты, ал дұрыс таңбалардың саны (берілген) санның бірінші маңызды таңбасынан бастап оның абсолют қателігіндегі бірінші маңызды таңбаға дейінгі сандармен анықталады.