Біртекті сызықты теңдеулер жүйесі

n белгісізі бар біртект і m теңдеулер жүйесі берілсін:

(5)

немесе

Берілген (5) жүйенің мен матрицасының рангісі тең, себебі матрицасының соңғы тік жолының барлық элементтері нөлге тең.

Сонымен, Кронекер-Капелли теоремасы бойынша берілген (5) біртекті жүйе әрқашан да үйлесімді және оның әрқашан да нөлдік шешімі бар: . Ал бізге (5) жүйенің нөлдік шешімнен өзге шешімдерін табу қажет.

(5) жүйенің рангісі -ге тең болсын деп ұйғарайық: . Анықтық үшін матрицасының алғашқы жатық жолы сызықты тәуелсіз болсын.

Теорема 1. (5) біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нөлден өзге шешімдері бар болуы үшін теңсіздігінің орындалуы қажетті әрі жеткілікті.

Теорема 2. белгісізі бар біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің нөлден өзге шешімдері бар болуы үшін жүйенің анықтауышы нөлге тең болуы: қажетті әрі жеткілікті.

1. Егер болса, онда Крамер теоремасы бойынша (5) біртекті жүйенің , нөлдік шешімнен өзге шешімі жоқ, мұндағы - белгісіздер саны.
2. Егер болса, онда (5) біртекті жүйенің нөлдік шешімнен өзге шексіз көп шешімдері бар. Бұл жағдайда матрицасының жатық жолдарының жатық жолдары сызықты тәуелсіз, ал қалған жатық жолдары осы жатық жолдары арқылы сызықты өрнектеледі.

Анықтама. Біртекті сызықты (5) теңдеулер жүйесінің кез келген сызықты тәуелсіз шешімі осы жүйенің іргелі шешімі деп аталады, мұндағы - жүйенің белгісіздер саны, саны -матрицасының рангісі: .

Теорема 3. Егер теңсіздігі орындалса, онда (5) біртекті сызықты теңдеулер жүйесінің іргелі шешімі бар болады. [:]

[GL]Тақырып 3. Векторлар және векторлар жүйесі[:]

мақсаты: векторлар ұғымымен таныстыру, векторларға қолданылатын амалдарды үйрету, сызықтық тәуелді және тәуелсіз векторлар жүйелері, векторлар жүйесінің базисі, рангісі ұғымдарымен таныстыру.

Кілт сөздер: векторлар, базис, сызықты тәуелділік, ранг.