Крамер ережесі. Кері матрица әдісі. Гаусс әдісімен шығару

n белгісізі бар біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық:

(1)

Бұл жүйенің белгісіздер саны теңдеулер санына тең, жүйенің негізгі матрицасы n жатық, n тік жолдардан тұрады. Сондықтан жүйенің негізгі матрицасы n-ретті квадрат матрица болады.

A= (2)

А матрицаның анықтауышы берілген сызықты теңдеулер жүйесінің бас анықтауышы деп аталады.

(1) жүйенің анықтауышы нөлге тең болмасын, яғни .

(1) жүйенің бас анықтауышы

Берілген жүйенің бас анықтауышының бірінші тік жолының элементтері x₁ белгісіздің коэффициенттері, ал екінші тік жолдың элементтері x₂ белгісіздің коэффициенттері т.с.с. Осы анықтауыштың кез келген тік жолының, мысалы к -тік жолының элементтерін (x_к белгісізінің коэффициенттерін) (1) жүйенің сәйкес бос мүшелерімен орын алмастырғанда алынған анықтауышты таңбасымен белгілейік:

= к =()

Крамер теоремасы. Егер (1) біртекті емес сызықты теңдеулер жүйесінің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең болмаса, онда ол анықталған жүйе. Бұл жүйенің шешімі Крамер формуласымен анықталады:

x_k = , k=( ) (3)

(3) – Крамер формулалары деп аталады.

Кері матрица әдісі.

Берілген (1) жүйені кері матрица әдісімен шешу үшін осы жүйенің төмендегі матрицаларын қарастырайық:

A = ; Х = ; B = ;

Мұндағы болсын, Х – белгісіз n 1 өлшемді матрица.

Матрицаларға қолданылатын амалдарға сүйене отырып, А мен Х матрицаларының көбейтіндісі (1) жүйенің сол жағындағы өрнектен анықталған матрицаға тең деп аламыз. Алдымен А мен Х матрицаларының көбейтіндісін анықтайық:

А*Х =

А*Х пен В матрицаларының теңдігінен мына теңдеуді аламыз:

А*Х = В; (4)

Мұндағы, Х – белгісіз n 1 матрица және (4) теңдеу (1) жүйенің матрица түріндегі теңдеуі деп аталады.

Берілген жүйенің матрицасы ерекше емес матрица, сондықтан оның кері матрицасы бар.

Енді (4) теңдеудің шешімін табу үшін осы теңдеуді солдан оңға қарай А матрицасының кері матрицасына көбейтейік:

А^-1*А*Х=А^-1*В

Мұндағы, А^-1*А=Е және Е*Х=Х. Олай болса

Х=А^-1*В (5)

болады, мұндағы А^-1*В – көбейтіндісі бар.