Основні математичні поняття

Як і кожна наука, математика має свої основні понят­тя, якими вона оперує: множина, число, лічба, розмір, ве­личина та їн. Вихідним змістом багатьох математичних понять є реальні предмети та явища навколишньої дій­сності і діяльності людей.

Основним поняттям у математиці є поняття множини, хоч виникло воно пізніше, ніж інші. Множина — це сукуп­ність об'єктів, що розглядаються як одне ціле.

Людина завжди була оточена різноманітними множи­нами: множина зірок на небі, рослин, тварин, множина різних звуків, частин власного тіла. Множина характери­зується якою-небудь властивістю, або говорять, що мно­жина задана характеристичною властивістю. Під харак­теристичною властивістю множини розуміють таку вла­стивість, якою володіють всі предмети, що належать цій множині, але не володіє жоден предмет, який не нале­жить їй (не є її елементом). Множина на відміну від невизначеної множинності може мати межі і бути охарак­теризована числом. Число показує кількість елементів або кількість груп у множині. Тоді вважають, що число позначає потужність множини.

На початку розвитку лічбової діяльності порівняння множин здійснювалося поелементно, один до одного. Еле­ментами множин називають об'єкти, що складають мно­жину. Це можуть бути реальні предмети (речі, іграшки, картинки), а також звуки, рухи, числа тощо. Порівнюючи множини, людина не тільки виявляє рівнопотужність мно­жин, а й відсутність у множині того чи іншого елемента, тієї чи іншої його частини. Є два способи визначення по­тужності множини: перший — перелічуванням усіх її еле­ментів та називанням результату числом; другий — виді­ленням характеристичної особливості множини.

Елементами множини можуть бути не тільки окремі об'єкти, а й сукупності їх. Наприклад, при лічбі парами, трійками, десятками.. У цих випадках елементами мно­жини стає не один предмет, а два, три — сукупність.

Основними операціями з множинами є такі: об'єднан­ня, переріз і віднімання.

Об'єднанням (сумою) двох множин називають тре­тю множину, яка містить усі елементи цих множин. Про­те сума множин не завжди дорівнює сумі чисел елементів множин. Вона дорівнює сумі чисел елементів тільки то­ді, коли в обох множинах немає спільних елементів.

Якщо є спільні елементи, то й су­му вони вводяться лише один раз. ' Наприклад, у. загадці «Двоє батьків і двоє синів, а всього їх троє» бачимо приклад об'єднання множин, коли сума множин не дорівнює сумі чисел. Оскільки одна й та сама особа включалась двічі (у першу та в другу множини), вона враховується тільки Один раз. Або, наприклад, щоб визначити кількість предметів, які вивчають учні педучилища в- семестрі, необхідно з розкладу кожного дня зробити вибірку: до множив пред­метів,' які вивчають учні в понеділок, додати не всі уро­ки наступних днів тижня, а лише ті, що не називались у попередніх днях тижня.

. Таким чином, кількість предметів буде меншою за за­гальну кількість уроків на тиждень, бо є предмети, які повторюються у різні дні.

Дії над множинами найкраще зображати графічно. На рис. 1 зображено об'єднання множин.

Перерізом двох, множин називається множина, яка містить усі їхні спільні елементи. На рис. 2 перерізом множини є два-трикутники, що належать одночасно пер­шій і другій множинам.

При відніманні двох множин дістаємо третю множину, яка називається різницею. Різниця містить елементи першої множини, які не належать-Другій. На рис. З за­штрихована частина є різницею двох множин. V Характеризуючи множина у математиці, застосову­ють тaкi поняття: скінченна і нескінченна множина, рівнооотужні і нерінопотужні, одноелементна, порожня множина, частина множини, чи підмножина. Дітей раннього і дошкільного віку ознайомлюють з конкретними скінченними множинами. Але для того, щоб сформувати уявлення і поняття про множину, треба цілеспрямовано працювати з Дітьми у всіх вікових грудах. Знання дітей про множину, елементи множини забезпечують фунда­мент, основували формування поняття числа.

Розвиток поняття натурального числа. Розглядаючи, формування поняття натурального числа у дітей, треба мати чітке уявлення про розвиток цього, поняття в істо­ричному аспекті — філогенез. Вивчення історії матема­тики, зокрема періоду зародження математики, дає змо­гу зрозуміти основні закономірності виникнення перших математичних понять (про множину, число, розмір, ари­фметичні дії, системи числення та ін.) і використовувати ці закономірності з урахуванням досвіду сучасних дітей при навчанні їх математиці.

Як показують дослідження з історії математики, по­няті натурального числа виникло на ранніх ступенях розвитку людського суспільства, коли у зв'язку з прак­тичною діяльністю виникла потреба кількісно оцінюва­ти сукупність. Спершу кількість множин не відокремлю­валась від самих множин, сприймалась і утримувалась в уявленні людини з усіма Лкоетямц, просторовими та кі­лькісними ознаками. Людина діє тільки оцінювала сукуп­ність Щодо її цілісності (всі чи не всі предмети є), а й могла сказати, яких саме предметів бракує. Часто суку­пність утримувалась в уявленні саме тому, що окремі предмети чітко відрізнялися своїми якостями.

Отже, на цій стадії розвитку поняття числа являло собою окремі числа-властивості або числа-якості конкретний сукупностей предметів з порядковими співвідношеннями, які ледве визначались. Нині вже немає народів, лічба яких спинилася б на першій стадії: чисел-властивостей.

З ускладненням соціально-економічного життя сус­пільства людині доводилось не тільки сприймати готові сукупності, а й відтворювати сукупності певної кількості. Для цього прредмети певної сукупності зіставлялись по од­ному безпосередньо з предметами іншої сукупності чи опосередковано за допомогою деякого еталона (зарубки, вузлики, частини тіла людини та ін.). Потім за допомо­гою такого самого зіставлення відтворювалась нова су­купність. Так, практична «юдина оволодівала операцією встановлення рівності, взаємно однозначної відповід­ності. Найістотнішим у цьому процесі є те, що різні величи­ни приводяться у відповідність з однією стандартною множиною, наприклад, з певною кількістю частин тіла людини. Це і є необхідною передумовою переходу до ліч-' би. Однак число як спільна властивість рівночисельних множин ще не усвідомлювалось. Так, людина не назива­ла число, а говорила: стільки, скільки пальців на руці. Цей період в історії розвитку натурального числа назива­ється стадією лічби на пальцях.

На цій стадії лічбу звичайно починали з мізинця лі­вої руки, перебирали всі пальці, потім переходили до за_: п'ястка, ліктя, плеча і т. д. до мізинця правої руки, після чого, якщо сукупність не вичерпувалась, йшли у зворот­ному порядку. У острів'ян Торресової протоки на люд­ському тілі показували так до 33. Якщо сукупність мала понад 33 елементи, то вдавались до паличок. Саме обста­вина, що при вичерпуванні всіх частин тіла вони вдава­лися до паличок (причому всі палички приблизно одна­кові), дає нам ключ до розуміння початкового призначен­ня такої «живої шкали»: Очевидно, вона спочатку була потрібна не для індивідуалізації чисел, виділення кож­ного окремого числа, а лише для порівняння, встановлен­ня взаємно однозначної відповідності між предметами обох сукупностей.

Для проведення арифметичних операцій людина ви­користовувала камінчики або зерна маїсу. Число сприй­малося як те спільне, що мають всі рівночисельні сукуп­ності. Незважаючи на надзвичайну примітивність цього способу лічби, він відіграв виняткову роль у розвитку поняття числа. Істотною рисою цього способу є те, що всі перелічувані множини відображаються за допомогою однієї системи, приведеної з ними у відповідність.

Видатний російський учений і мандрівник М. М. Міклухо-Маклай, описуючи лічбу папуасів — жителів Нової Гвінеї, зазначав, що улюблений спосіб лічби полягає в то­му, що папуас загинає один за одним пальці руки, при­чому вимовляє певний звук, наприклад «бе, бе, бе...». До­лічивши до 5, він говорить «ібон-бе» (рука). Потім він загинає пальці другої руки, знову повторює «бе, бе, бе...», поки не дійде до «ібон-алі» (дві руки). Тоді він іде далі, поки не дійде до «самба-алі» (дві ноги). Якщо треба лі­чити далі, папуас користується пальцями рук і ніг кого-небудь іншого.

У процесі розвитку суспільства дедалі більше коло сукупностей потрапляло до числа тих, що їх перелічують.

Просте встановлення рівночисельності і лічби на па­льцях вже не могло задовольняти нових потреб суспіль­ства. Проте обмеженість ряду чисел не давала змоги вести лічбу дуже великих сукупностей.

Наступний етап у розвитку лічби і поняття натураль­ного числа пов'язаний з зародженням системи числення, яка спирається на групування предметів при лічбі. Нову систему лічби можна назвати груповою, або лічбою за допомогою чисел-сукупностей. Ідея лічити групи була підказана самим життям: деякі предмети завжди зустрі­чаються на практиці стійкими групами (парами, трійка­ми, п'ятірками, десятками).

У туземців Флоріди «на-куа» означає 10 яєць, «на-банара» — 10 корзин з їжею, але окремо «на», якому б відповідало число 10, не вживається. На одному з діалек­тів індійців західної частини Канади слово «тха» означає три речі, «тхе» — три рази, «тха-тоєн» — у трьох місцях і т. д. Проте слова, яке б означало абстрактне число три, там немає. Наявність у зазначених сукупностях тієї са­мої частини показує, що люди вже починають помічати і відображувати у своїй мові групи, що мають спільну властивість. На цій стадії розвитку лічби не кожній гру­пі предметів приписується число, тільки ті групи є числами-сукупностями, які часто зустрічаються у господар­ському чи іншому вжитку племені.

Числа-сукупності стали прообразами наших вузлових чисел. Таку стадію розвитку уявлень пережило все люд­ство. У всіх мовах,.у тому числі і слов'янських, є такі граматичні форми, як одна, подвійність і множина. Сло­во, що позначає предмет, має різні значення, залежно від того, чи йдеться про один, два або більше предметів. У деяких мовах є особлива форма потрійності. Ці мовні форми — пережитки тієї віддаленої епохи розвитку, ко­ли людиною були освоєні числа «один», «два» і «три». Кожна численніша група предметів характеризувалась словами «багато», «тьма».

Під впливом обміну одна з груп предметів стає мірою для інших, своєрідним еталоном., З цією групою почина­ють порівнювати інші. Виділення групи, яка використо­вувалась для порівняння інших, поступово привело до того, що дедалі більше почав усвідомлюватись кількісний бік цієї групи. Кількісна характеристика групи предме­тів поступово набувала самостійного значення. Так вини­кло поняття про число та його назву, тобто про конкрет­ні числа. Ці числа використовувались насамперед для практичних цілей людей: лічби худоби, шкур та ін. По­ступово ці числа почали застосовуватися для переліку будь-яких множин. Так виникло слово-число «сорок». У російських народних легендах йому належить особлива роль. Корінь слова «сорок», або «сорочок», такий самий, що і в слові «сорочка». На шубу йшло 40 штук соболів. Відомо, що соболині шкури виконували роль одиниці цін­ності. Сорок або «сорочок» соболів становили повну шу­бу і були також одиницею цінності.

Перші числа були своєрідними, «острівцями», певни­ми орієнтирами у лічбі. Лічба велася п'ятірками, десят­ками, дюжинами деяких предметів, тобто числа-сукупності були вузловими числами, ця назва так і закріпилася в арифметиці. Вузлові числа — це числа, які мають інди­відуальну, нерозкладну на складові частини назву. Реш­ту чисел називають алгорифмічними. Вони виникли зна­чно пізніше й зовсім інакше. Алгорифмічні числа з'яви­лися як результат операцій, проведених над вузловими числами. Це своєрідні сполучні ланки між вузловими чи­слами.

У багатьох мовах у назвах алгорифмічних чисел вжи­ваються спеціальні дієслова-класифікатори для характе­ристики певного способу дій з конкретними множинами. Так, мовою індійців Північної Америки, а також племен Британської Колумбії відкладання перших двох десят­ків предметів не супроводжується цими дієсловами. А лічба наступних одиниць словесно оформляється як ре­зультат дії. Наприклад, число 26 позначається так: «на двічі десять я кладу ще шість». Дієслова-класифікатори не супроводжують чисел, кратних десяти. Таким чином, ці терміни існують лише для того, щоб розмістити за роз­рядами одиниці, які йдуть за десятками, але не самі де­сятки.

Операції з числами спочатку були не арифметичними, а рухомими. Сліди цього збереглися в багатьох мовах, у тому числі і в українській. Так, числа від 11 до 19 вимов­ляються як відповідне число одиниць, покладене на де­сять: один на дцять, п'ять на дцять та ін. Тут частку «на» слід розуміти саме як «покладене на». Пізніше виникли арифметичні операції.

Поступово визначився послідовний ряд чисел. Основ­ну роль в утворенні алгорифмічних чисел відігравала опе­рація додавання. Крім того, використовувалися відніман­ня та множення. Особливо це простежується у римській нумерації: VI=5+1; XC = 100—-10 тощо. Утворення алгоритмічних чисел, використання арифметичних опе­рацій знайшло відбиття в назвах деяких чисел у російсь­кій, французькій та інших мовах. Однак числовий ряд на цій стадії ще не був однорідним і нескінченним. Ще дов­го він був обмеженим. Останніми числами у ряду були і З, і 7, і 12, і 40 та ін. Найбільш освоєне число натураль­ного ряду, що межує з незліченним, часто здобувало особливий ореол чудового і, очевидно, було основою для виникнення забобон, пов'язаних з різними числами, що збереглися й досі. Такими були числа 7, 13, 40 та інші.

Число 40 у легендах багатьох східних народів віді­грає особливу роль. Вислів «сорок сороков», часто вжи­ваний у російській мові, є позначенням дуже великого, нескінченно великого числа.

Щодо лічби «сороками» є передбачення, що вона по­ходить від лічби за суглобами пальців. Сибірські звіро­лови лічили великим пальцем по двох суглобах решти чотирьох пальців. Таким чином долічували до 40. Вклю­чення третього суглоба у цей процес вважалося незруч­ним.

Тепер стало звичним оперувати при лічбі натуральни­ми числами. Натуральне число - має багато властивостей, які далеко не загальновідомі. Існує навіть ціла наука — теорія чисел, яка займається вивченням їх.

Поступово вузлові та алгорифмічні числа заповнили ряд> що є нескінченним. Натуральних чисел нескінченно багато, серед них немає найбільшого. Яке б велике число ми не взяли, якщо додамо до нього одиницю, то дістане­мо ще більше число. Ця нескінченність числового ряду створює значні труднощі при логічному обґрунтуванні арифметики.

Теоретичні основи поняття натурального числа. Понят­тя натурального числа, як і кожне абстрактне поняття, є відбиттям загальних і істотних ознак певних явищ об'є­ктивної дійсності. Об'єктом відбиття є кількісні відно­шення дійсного світу.

Поняття числа у людини виникає в основному так са­мо, як і інші наукові поняття, — на підставі конкретних уявлень, що склалися на основі досвіду. Відмінні риси цього процесу зумовлюються лише суттю об'єкта відбит­тя — кількості.

Особливістю кількості є те, що реально кількісні від­ношення не існують поза предметами, окремо від них. Щоб відокремити кількісні відношення від усіх інших ознак предметів, не можна відразу відкинути предмети або замінити різноманітні сукупності іншими, складени­ми тільки з одних якихось предметів. Труднощі форму­вання поняття про кількість полягають у тому, щоб у різних конкретних множинах виділити кількісні відно­шення як найголовніші, найсуттєвіші і звернути на них увагу.

Для того щоб виділити сталі кількісні відношення, треба зробити однорідні множини змінними, тобто уріз­номанітнити сукупності предметів. Наприклад, п'ять шкур, п'ять мішків зерна, п'ять пальців на руці. Ці мно­жини відмінні за змістом, але однакові за кількістю. Вна­слідок порівняння цих множин стає очевидним, що вони однакові за кількістю. Кількісний бік множини, залиша­ючись сталим, стає помітним, ніби відокремлюється від різних якісних і просторових ознак, і узагальнюється у вигляді абстрактного поняття числа — всіх їх по п'ять.

Наступною особливістю кількісних відношень є те, що виділення їх відбувається за допомогою порівняння (по­рівнюються предмети всередині сукупності). Тільки по­рівняння предметів відкриває у них кількісний бік як об'єктивну властивість матеріального світу. Тому основне у пізнанні кількості — сприйняття не самих речей, а спри­йняття їхньої зміни — порівняння, розумова діяльність, надання руху. Ці дії можуть бути різними: безпосереднє порівняння, лічба, вимірювання, що залежить від приро­ди самих речей. Якщо це дискретні (перервні) величини, то порівнюються вони або безпосередньо, або лічбою еле­ментів. Якщо ж це неперервні величини, то порівняння відбувається вимірюванням або також безпосереднім по­рівнянням. Дії порівняння залежать і від завдань більш або менш точно характеризувати кількість. Наприклад, 8 штук, 4 кг, 5 м.

Отже, при формуванні у дітей поняття числа важли­во організувати систему дій із сукупностями предметів, навчити їх різних способів виділення й оцінки кількості. Засвоєння поняття натурального числа у дітей навіть під впливом цілеспрямованого навчання — тривалий процес. Як і кожне пізнання — це не просте, не безпосереднє, не цілісне відображення, а досить складний процес усвідом­лення абстракцій, законів, закономірностей.

Діти самі не винаходять ні дій, що розкривають кіль­кісний бік предметів, ні назв чисел, ні законів для позна­чення їх на письмі. Це відбувається внаслідок вивчення досвіду дорослих. Однак особистий досвід кожної дитини також необхідний. Без безпосереднього досвіду неможли­ві ні виникнення, ні розвиток математичних понять.

На кожному ступені узагальнення й поглиблення по­няття натурального числа слід забезпечити правильне поєднання чуттєвого і логічного елементів пізнання. Чут­тєвий досвід, як і логічні засоби розкриття певного по­няття, розкривається і вдосконалюється. Чуттєве пізнан­ня — це наші відчуття і сприйняття.

На перших етапах виникнення числових уявлень у ді­тей чуттєву основу створює оперування предметами. Для цього їм необхідні різні групи (множини) предметів. Діти практично діють з ними: складають, розкладають, пе­релічують, нанизують, накладають, прикладають. При цьому треба, щоб дорослий скеровував цей процес на по­рівняння множини за кількістю (більше, менше, порівну). Під впливом таких дій у дітей, по-перше, розвиваються здібності до лічби, порівняння; по-друге, формується по­чаткове поняття про число як показник потужності мно­жини.

У процесі формування поняття числа особливого зна­чення набуває зв'язок з вимірюванням, навчання дітей пошуку відношення того чи іншого об'єкта (розміру) як цілого до його частини (міри).

Пізніше поняття про натуральне число поглиблюєть­ся через оперування самими числами: ознайомлення з числовою системою вивчення властивостей натурального ряду, виконання арифметичних дій. Як наслідок зміню­ється сам зміст поняття натурального числа. Відповід­но до цього змінюється також сприйняття кількості, а отже, й числові уявлення в цілому. Тут особливого зна­чення набуває логічний елемент пізнання.

Практика, індивідуальний досвід дитини є не тільки основою для формування абстрактного поняття натура­льного числа. Саме у практиці застосовується абстрак­ція, стаючи засобом пізнання, засобом вивчення кількіс­них відношень. При цьому досвід виступає як критерій життєвості, реальної значущості поняття числа.

Таким чинам, виникаючи на основі чуттєвого уявлен­ня (у процесі практичного оперування з множинами, ліч­би та вимірювання), поняття натурального числа розкри­вається далі у його суттєвих ознаках, знання яких не мо­жна добути дослідженням, оскільки число не належить до галузі спостереження. Наприкінці дошкільного віку у дітей має,бути сформоване поняття про те, що число, яке дістали в результаті лічби, залежить від міри.

Види письмової нумерації. Метою будь-якої нумерації є зображення будь-якого натурального числа за допомо­гою невеликої групи індивідуальних знаків. Цього можна було б досягти за допомогою єдиного знака 1 (одиниці), Кожне натуральне число тоді записувалося б повторен­ням символу одиниці стільки разів, скільки в цьому чис­лі міститься одиниць. Додавання звелося б до простого приписування одиниць, а віднімання — до викреслювання їх. Така система проста, але незручна. Для запису вели­ких чисел вона практично непридатна і нею користували­ся лише народи, лічба яких не йшла далі одного-двох де­сятків.

З розвитком людського суспільства зростали знання людей і дедалі більшою ставала потреба вміти лічити і записувати добутий результат лічби.

На початку розвитку письма не було ні букв, ні цифр, кожну річ, кожну дію зображали малюнком. Це були ре­альні малюнки, які зображали ту чи іншу кількість. По­ступово вони спрощувалися, ставали зручнішими для за­пису. Це були ієрогліфи. Ієрогліфи стародавніх єгиптян свідчать, що мистецтво лічби було в них на досить висо­кому рівні.

Для вдосконалення лічби треба було перейти до зруч­нішого письма, яке б полегшувало запис чисел спеціаль­ними знаками.

Перші цифри вже виявляються більш як за 2 тис. р. до и. е. у Вавілоні. Вавілоняни писали паличками на пли­тах з м'якої глини й обпалювали потім свої записи. Пи­семність стародавніх вавілонян називалася клинописом. Клинчики розміщали і горизонтально, і вертикально, за­лежно від значення. Вертикальні клинчики позначали одиниці, а горизонтальні — десятки.

Деякі народи для запису чисел використовували бук­ви. Замість цифр писали початкові букви слів-числівників. Така нумерація була у греків. За іменем ученого, який запропонував її, вона увійшла в історію під назвою геродіанової нумерації. Так, у греків число «п'ять» нази­валось «pinta» і позначалося буквою «р», а число «де­сять» називалося «deka» і позначалось буквою «D».

Римська нумерація збереглась і дійшла до наших днів. Досі римські цифри можна бачити на циферблатах годинників, сторінках книг, на старих будинках, вони вживаються для позначення розділів книг, століть тощо. У римській нумерації є сім вузлових знаків: І, V, X, L, С, D, М.

Можна вважати, що знак для одиниці — це ієрогліф, який зображає І (каму), знак для п'яти — зображення руки (зап'ясток руки з відставленим великим пальцем), а для десяти — зображення разом двох п'ятірок. Щоб записати числа два і три, повторюють відповідне число разів одиницю. Для запису числа чотири перед V (п'ять) ставлять І. У цьому запису одиниця, поставлена перед п'ятіркою, віднімається, а одиниці, поставлені за V, до­даються до неї. І так само одиниця, записана перед де­сятьма (X), віднімається від десяти, а та, що стоїть пра­воруч,— додається. Число 40 позначається XL. В цьому разі від 50 віднімається 10, Для запису числа 90 від 100 віднімається 10 і записується ХС.

Римська нумерація зручна для запису чисел, проте не придатна для проведення обчислень. Ніяких дій у пись­мовому вигляді (розрахунки «стовпчиками» та інші при­йоми обчислень) з римськими цифрами провести майже неможливо. Це великий недолік римської нумерації.

У деяких народів (слов'ян, євреїв, арабів, грузинів) запис чисел провадився буквами алфавіту. -

Алфавітна система нумерації вперше була застосова­на у Греції. Найдавніший запис, зроблений за цією систе­мою, відносять до середини V ст. до и. е. У всіх алфавіт­них системах числа від 1 до 9 позначали відповідними буквами алфавіту. Всі десятки і сотні позначали індивіду­альними символами за допомогою наступних букв алфа­віту. У грецькій та слов'янській нумераціях над буквами, що позначали цифри, щоб відрізнити числа від звичай­них слів, ставилася риска — «титло», Всі числа від 1 до 999 записували на основі принципу додавання із 27 ін­дивідуальних знаків для цифр. Спроби записати у цій си­стемі числа, більші за тисячу, привели до позначень, які можна розглядати як зачатки позиційної системи. Так, для позначення тисячі застосовувалась та сама буква, що й для позначення одиниці, але з рисочкою ліворуч унизу.

Сліди алфавітної системи збереглися до нашого часу. Так, часто буквами нумеруємо пункти доповідей, резолю­цій тощо. Однак алфавітний спосіб нумерації у нас збе­рігся тільки для позначення порядкових чисел. Кількісні числа ніколи не позначаємо буквами, тим більше ніколи не оперуємо з числами, записаними в алфавітній си­стемі.

Старовинна російська нумерація також була алфавітною. Слов'янське алфавітне позначення чисел виникло X ст. Нині діюча система запису чисел індійська. Завезена вона до Європи арабами, тому й дістала назву арабської нумерації. Арабська нумерація поширилась по всьому світу, витіснивши всі інші записи чисел. Для запису чи­сел використовується 10 значків, що називаються циф­рами. Дев'ять з них позначають числа від 1 до 9. Деся­тий значок — нуль (0) —означає відсутність цифри. За допомогою цих десяти знаків можна записати які завгод­но великі числа. До XVIII ст. на Русі письмові знаки, крім нуля, називалися знаменнями.

Отже, у народів різних країн була різна письмова "ну­мерація: ієрогліфічна — у єгиптян; клинописна — у ваві­лонян; геродіанова — у Фінікії та Аттіці; алфавітна — у греків, слов'ян; римська — в західних країнах Європи; арабська — на Близькому Сході. Тепер майже скрізь ви­користовується арабська нумерація.

Системи числення. Аналізуючи системи нумерації, що мали місце в історії культури, можна зробити висновок, що всі письмові системи поділяються на дві великі групи: а) позиційні системи числення; б) непозиційні системи числення.

До непозиційних систем числення належать: запис чи­сел ієрогліфами, алфавітна, римська та ін. Непозиційні системи числення — це такі системи запису чисел, коли зміст кожного символу не залежить від місця, на якому він написаний. Ці символи становлять вузлові числа, а алгорифмічні числа комбінують з цих символів. Наприк­лад, число 88 у непозиційній римській нумерації запису­ють так: LXXXVIII, тут знаки X (десять) і І (одиниця) використовуються у запису числа тричі. Причому щора­зу цей знак позначає те саме число: X — десять одиниць, І — одиницю, незалежно від місця, на якому вони сто­ять у ряді інших знаків.

У позиційних системах кожен знак має різне значення залежно від того, на якому місці в запису числа він сто­їть. Наприклад, у числі 222 цифра «2» повторюється три­чі, але найперша праворуч з них означає дві одиниці, друга — два десятки, а третя — дві сотні. Тут маємо на увазі десяткову систему числення. Поряд з десятковою системою числення в історії розвитку математики мали місце двійкова, п'ятіркова, дванадцяткова та інші.

Позиційні системи числення зручні тим, що вони да­ють змогу записувати великі числа за допомогою порів­няно невеликої кількості знаків. Важливою перевагою позиційних систем є простота і легкість виконання арифметичних операцій над числами, записаними у цих сис­темах.

Поява позиційних систем позначення чисел була од­нією з основних віх в історії культури. І це явище не випадкове. Підтвердженням цього є самостійне виникнення позиційної системи принаймні у трьох різних народів: більш як за 2 тис. років до н. е.— у вавілонян; на початку н. є.— у племен майя (Центральна Америка); у IV— VIII ст. н. є.— в Індії.

Виникнення позиційної системи можна уявити так: використання мультиплікативності і наступне пропускан­ня на письмі розрядових одиниць. Завершується пози­ційна система впровадженням нуля (0).

Для пояснення походження позиційного принципу на­самперед слід пояснити появу мультишгікативної форми запису (мультиплікативний запис — запис з використан­ням множення), яка є одночасно основою зображення числа на першому лічильному приладі, що називався, у слов'ян абак.

У мультиплікативному запису число 154 записують так: 1-10²+5- 10-f-4. Тут найчастіше при лічбі певна мно­жина одиниць першого розряду береться за одиницю на­ступного розряду, певна множина одиниць другого роз­ряду береться, в свою чергу, за одиницю третього розря­ду і т. д. Це досягається тим, що для вираження відомої кількості одиниць різних розрядів застосовуються ті са­мі числові символи, після яких позначається, до якого розряду належать полічені одиниці. Цим самим записом підкреслюється, що об'єктами лічби можуть бути еле­менти будь-якого походження (речі, визначені множини, десятку їх, сотні тощо), а це, в свою чергу, виражає най­важливішу властивість абстрактного числа бути загаль­ною формою, властивою найрізноманітнішому конкрет­ному буттю.

Так, африканські негри, що лічать на камінчиках або горіхах, складають їх на кугш по п'ять предметів у кож­ній. П'ять таких купок вони об'єднують у нову купку і т. д. Тут спочатку перелічуються камінчики, тоді купки, тоді великі купки і т. д. При такому способі лічби під­креслюється, що з купками треба чинити так само, як і з камінчиками.

Техніку лічби за цією системою ілюструє приклад, який наводить Міклухо-Маклай про туземців Нової Гві­неї. Щоб полічити кількість папірців, які означають чис­ло днів до повернення корвета «Витязь», папуаси робили так: перший — розкладаючи шматочки паперу на ко­ліні, при кожному відрізку повторював: «каре», «каре» (один), другий повторював також «каре» і при цьому за­гинав палець спочатку на одній, потім на другій руці. По­лічивши до десяти і зігнувши пальці обох рук, він опус­кав обидва кулаки на коліна, промовивши «дві руки», при цьому третій папуас загнув один палець на руці. З дру­гим десятком було зроблено так само, причому третій па­пуас загнув другий палець, те саме було зроблено і для третього десятка. Подібна лічба мала місце і в інших країнах. Для такої лічби потрібні щонайменше три особи: перша лічить одиниці, друга — десятки, третя — сотні. Якщо ж замінити пальці тих, хто лічить, камінчика­ми, вміщеними у різні виїмки глиняної дошки, або нами­стинками, нанизаними на дротики, то вийде найпрості­ший лічильний прилад абак, або рахівниця.

Якщо позначити пальці тих, хто лічить, символами 1, X, С, то дістанемо мультиплікативну форму запису. Так, число 323 при цьому запишеться за схемою: ЗС2ХЗ.

З часом назви розрядів на письмі почали опускати. Проте для завершення позиційної системи не вистачало останнього кроку — введення нуля. При порівняно неве­ликій основі, якою було число 10, та оперуванні порівня­но великими числами, особливо після того, як назви роз-рядових одиниць,почали опускати, таке введення стало необхідним. Символ нуля спочатку міг бути зображенням порожнього жетона абака або видозміною простої точки, яку могли поставити на місце пропущеного розряду. Так чи інакше, впровадження нуля було цілком немину­чим етапом закономірного процесу розвитку, який привів до створення сучасної позиційної системи.

Причини, за якими саме десяткова система числення стала загальновживаною, — зовсім нематемэтичного ха­рактеру. Десять пальців руки — ось перший апарат для лічби, яким людина користувалась, починаючи з доісто­ричного періоду.. Десяткова система належить до паль­цьової системи. Десять одиниць утворюють у десятковій системі числення один десяток або одну одиницю нового розряду. Десять одиниць другого розряду (десятків) ут­ворюють одиницю третього розряду (сотню).

Число, що складається з двох сотень, трьох десятків і п'яти одиниць, записують так: 235. Значення кожного знака визначається не лише його виглядом, а й місцем, розміщенням у ряду інших знаків. На крайньому місці праворуч стоять одиниці, лівіше — десятки, ще лівіше — сотні. Якщо одиниць якогось розряду немає, то на відпо­відному місці ставиться нуль.

Кожні три розряди становлять клас. Одиниці, десятки і сотні утворюють перший клас, клас одиниць. Тисячі, де­сятки і сотні тисяч становлять другий клас, клас тисяч і т. д.

На письмі класи часто відокремлюють один від одно­го проміжком: 25 547.

В основі системи числення може бути будь-яке число (але не 0 чи 1). У Вавилоні, наприклад, це було число 60. Якщо за основу системи числення взяти велике число, то запис чисел буде коротшим, проте виконувати арифме­тичні дії стане значно важче. Якщо ж, навпаки, взяти число, наприклад, 2 або 3, то арифметичні дії виконувати­муться легше,, але сам запис стане громіздким. Можливо було б простіше записувати числа і виконувати дії, якщо лічити не десятками, а вісімками або дюжинами, тобто в основу системи числення покласти число «вісім» або «дванадцять». Однак перехід до нової основи був би по­в'язаний із значними труднощами, адже довелось би, на­приклад, передрукувати заново всі наукові книги, пере­робити всі лічильні прилади і машини. Навряд чи така зміна була б доцільною.

Десяткова система стала звичною. Однак найдавні­шою є двійкова система, яка застосовується в обчислю­вальних машинах.