Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости

Когда множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, найти их декартово произведение несложно. А если множества А и В бесконечны? Как представить, например, декартово произведение множества А натуральных чисел, больших 3, и мно­жества В натуральных чисел, больших 5?

Круги Эйлера в этом случае нам помочь не могут.

В математике нашли выход из этой ситуации. Оказывается, наглядное изображение декартова произведения двух числовых мно­жеств можно получить при помощи координатной плоскости. Каким образом?

Чтобы ответить на этот вопрос, уточним наши представления о координатной прямой и координатной плоскости.

Координатная прямая — это прямая с заданным на ней началом отсчета, единицей длины в положительным направлением (рис. 46).

Каково назначение координатной прямой?

Возьмем на прямой l точку М (М не совпадает с О) и поставим ей в соответствие такое число х, что:

1) его модуль равен расстоянию от О до М

2) оно положительно, если точка М лежит на луче ОЕ, и отри­цательно, когда точка М лежит на противоположном луче.

Так, определенное число х называют координатой точки М и пи­шут: М (х).

Например, на рисунке 47 точка Л1 имеет координату 4, точка К — координату —2. В том случае, когда точка М совпадает с точкой О, считают что координата точки М равна нулю, и пишут: М (0).

Таким образом, с введением координатной прямой устанавлива­ется связь между точками прямой и действительными числами: каждой точке М координатной прямой соответствует единственное действительное число х — координата этой точки. Справедливо и обратное утверждение: каждое действительное число х сопоставляет-