Понятие разбиения множества на классы

Понятие множества и операций над множествами позволяют уточнить наше представление о классификации.

Классификация — это действие распределения объектов по клас­сам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.

Как правило, целью классификации является систематизация наших знаний. Например, в биологии имеется классификация жи­вотных, охватывающая до 1,5 млн. различных видов животных, в ботанике — классификация растений, включающая 500 тыс. видов растений. Классификация дает возможность рассмотреть это много­образие в определенной системе, выделить интересующие нас виды растений или животных.

Широко применяется классификация в математике. Например, натуральные числа делятся на четные и нечетные; углы (меньше развернутого) бывают острые, прямые и тупые.

Каким условиям должна удовлетворять правильно выполненная классификация?

Любая классификация связана с расчленением некоторого мно­жества объектов на подмножества. Если при этом каждый элемент данного множества попадает в одно и только одно подмноже­ство, а объединение всех выделенных подмножеств совпадает со всем множеством, то говорят, что данное множество разбито на непересекающиеся подмножества или классы.

Считают, что множество X разбито на классы Х1, X2,..., Хn, если:

1) подмножества Х1, Х2,...,Хn попарно не пересекаются;

2) объединение подмножеств Х1, Х2,..., Хn совпадает с множеcтвом Х

Если не выполнено хотя бы одно из этих условий, классифи­кацию считают неправильной.

Так, множество Х треугольников можно разбить на три класса: остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Действительно, вы­деленные подмножества попарно не пересекаются (среди остроуголь­ных треугольников нет прямоугольных и тупоугольных, среди пря­моугольных — тупоугольных) и их объединение совпадает с мно­жеством X.

Однако не всякая система подмножеств данного множества представляет собой разбиение этого множества. Например, если из множества Х треугольников выделить подмножества равнобед­ренных, равносторонних и разносторонних, то разбиения множества X на классы мы не получим, поскольку множества равнобедренных и равносторонних треугольников пересекаются (все равносторон­ние треугольники являются равнобедренными).

Итак, классификация связана с выделением из множества его подмножеств. Но чтобы выделить подмножество, достаточно ука­зать характеристическое свойство его элементов.

Рассмотрим, например, множество натуральных чисел. Его эле­менты обладают различными свойствами. Среди натуральных чисел есть четные, нечетные, кратные 3, кратные 5 и т. д. Предпо­ложим, что нас интересуют натуральные числа, обладающие свой­ством делиться на 3. Это свойство позволяет выделить из множества натуральных чисел подмножество чисел, кратных 3. Тогда про остальные натуральные числа можно сказать, что они не кратны 3, т. е. получаем еще одно подмножество множества натуральных

кратным 3», а некоторые — свойством «быть кратным 9». Устано­вите, в каком из случаев на рисунке 43 изображены подмножества чисел, обладающих указанными свойствами, и определите, на сколь­ко классов при этом разбивается множество натуральных чисел.

10. Определите классы разбиения множества X четырехуголь­ников, если оно осуществляется при помощи:

1) свойства «быть прямоугольником»;

2) свойств «быть прямоугольником» и «быть ромбом»;

3) свойств «быть прямоугольником» и «быть квадратом»;

4) свойств «быть прямоугольником» и «быть трапецией».

11. Покажите, что решение задач связано с разбиением задан­ного множества на попарно непересекающиеся подмножества:

1) 12 флажков пионеры раздали октябрятам, по 2 флажка каждому. Сколько октябрят получили флажки?

2) Для игры в волейбол 12 ребят разбились на 2 команды поровну. Сколько ребят стало в каждой команде?

12. О каких множествах и операциях над ними идет речь в задачах:

1) С одной грядки сняли 25 кочанов капусты, а с другой—15 кочанов. Всю эту капусту разложили в корзины, по 8 кочанов в каждую. Сколько потребовалось корзин?

2) Для школьного сада привезли 24 саженца яблонь. На одном участке пионеры посадили 6 саженцев, а на другом — остальные, в 3 ряда поровну. Сколько саженцев посадили в каждом ряду?

3) Для детского сада купили 9 коробок цветных карандашей, по 6 штук в каждой, и 46 черных карандашей. Сколько всего карандашей купили?

4) Марки, собранные для коллекции, Толя разместил на 3 листа альбома, по 6 штук на каждом листе. 4 из них Толя подарил другу. Сколько марок у него осталось?