Отношение порядка

Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни, так и на занятиях по математике. Мы говорим о порядке поступле­ния на работу, о порядке слов в предложении; на уроках мате­матики обсуждаем порядок выполнения действий,.порядок записи решения уравнения, задачи и т. д.,

Что же такое порядок?

Обратимся к нескольким примерам.

1) Чтобы установить порядок в множестве учащихся класса, достаточно выстроить их по росту. На практике эта процедура сводится к сравнению пар учащихся, т. е. на множестве учащихся рассматривается отношение «быть выше». Это отношение антисим­метрично и транзитивно.

2) Множество учащихся класса можно упорядочить и по воз­расту, т. е. задав отношение «быть старше». Заметим, что это отношение также антисимметрично и транзитивно.

3) Всем известен порядок следования букв в русском алфавите. Его обеспечивает отношение «следует», обладающее свойст­вами антисимметричности и транзитивности.

Замеченные нами свойства отношений, устанавливающих неко­торый порядок в множестве, и легли в основу определения от­ношения порядка.

Определение. Отношение R на множестве X называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично.

Множество X с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

Множество Х = {2, 8, 12, 32} можно упорядочить при помощи отношения «меньше» (рис. 69, а), а можно это сделать при помощи отношения «кратно» (рис. 69, б). Но, являясь отношениями порядка, отношения «меньше» и «кратно» упорядочивают множество нату­ральных чисел поразному. Отношение «меньше» позволяет срав­нивать два любых различных числа из множества X, а отношение «кратно» таким свойством не обладает. Например, пара чисел