Структура теоремы. Виды теорем

Ранее мы отмечали, что существенные свойства объекта об­разуют содержание понятия об этой объекте. Часть этих свойств включается в определение понятия. Чтобы иметь достаточно пол­ное представление об объекте, изучают и другие его свойства.

Свойства основных (первоначальных) понятий раскрываются в аксиомах1 — предложениях, принимаемых без доказательства (в не­которой теории). Например, свойства основных понятий геометрии «точка», «прямая», «плоскость» включены в аксиомы:

Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежа­щие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.

Через любые две точки можно провести прямую и только одну.

Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

Мы назвали лишь некоторые аксиомы, раскрывающие свойства данных понятий.

Вообще система аксиом любой математической теории, раскры­вая свойства основных понятий, дает, по сути дела, их опре­деления. Эти определения называются аксиоматическими.

Свойства понятий, не являющиеся основными и не включен­ные в определения, как правило, доказываются, т. е. выводятся как следствия из определения, аксиом и ранее доказанных свойств. Доказываемые свойства понятий чаще всего называют теоре­мами, иногда следствиями или признаками. В алгебре — формула­ми, тождествами, правилами. Несмотря на разные названия, устрое­ны эти предложения одинаково. Поэтому будем называть их все теоремами.

Итак, теорема — это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В. Истинность этого высказывании устанав­ливается путем доказательства.

Так как теорема есть высказывание вида А=>В, то ее словес­ная формулировка может иметь различную форму (см. п. 10, П). Однако, в каком бы виде ни была сформулирована теорема, в ней всегда выделяется условие А (что дано) и заключение В (что надо доказать).

Пусть дана теорема А=>В. Образуем из нее высказывания вида В=>В, В=>А=>.

Теоремы А В и В=>А называются обратными друг другу, а те­оремы А=>В и А=>В называются противоположными друг другу.

Теорему В=>А называют обратной противоположной.

Пример. Дана теорема: «Если углы вертикальные, то они равны». Сформулируем теоремы обратную, противоположную и обратную противоположной.

Обратная данной: «Если углы равны, то они вертикальные».

Это — ложное высказывание.

Для того чтобы четырехугольник был квадратом, достаточно, чтобы в нем был прямой угол; 2) для того чтобы число было натураль­ным, необходимо, чтобы оно было положительным. Если число нату­ральное, то оно положительное?

5. Сформулируйте теоремы обратную, противоположную данной, а также обратную противоположной; установите, какие из них ложны: 1) если запись числа оканчивается нулем, то число делится на 5; 2) в ромбе диагонали взаимно перпендикулярны.

6. Сформулируйте теорему, обратную данной, и установите, мож­но ли данную теорему и ей обратную объединить в одну: 1) если углы смежные, то они в сумме составляют 180°; 2) если два угла треугольника равны, то и стороны лежащие против них, тоже равны.