Правила построения отрицаний высказываний, содержащих кванторы

Рассмотрим высказывание: «Все натуральные числа делятся на 3». В том, что это ложное высказывание, легко убедиться, приведя контрпример. Так, натуральное число 17 не делится на 3.

Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что все натуральные числа делятся на 3». Это предложе­ние истинное, и по смыслу оно совпадает с предложением «Суще­ствуют натуральные числа, которые не делятся на 3».

Таким образом, отрицание высказывания «Все натуральные числа делятся на 3» можно построить двумя способами:

1) поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;

2) заменив квантор общности на квантор существования, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.

Заметим, что предложение «Все натуральные числа не делятся на 3» не является отрицанием высказывания «Все натуральные числа делятся на 3», поскольку оно ложно так же, как и данное высказывание.

Возьмем теперь предложение с квантором существования: «Некоторые нечетные числа делятся на 4». Это ложное высказы­вание: все нечетные числа не делятся на 2 и, следовательно, не делятся на 4.

Построим отрицание данного высказывания. Можно сказать: «Неверно, что некоторые нечетные числа делятся на 4». Это предложение истинное в по смыслу совпадает с таким: «Все не­четные числа не делятся на 4».

Таким образом, отрицание высказывания «Некоторые нечетные числа делятся на 4» можно построить двумя способами:

1) поставив перед данным предложением слова «неверно, что»;

2) заменив квантор существования на квантор общности, а предложение, стоящее после квантора, его отрицанием.

При построении отрицаний высказываний мы воспользовались правилом, которое принимаем без доказательства.

Отрицание высказывания с квантором (общности или существования) может быть построено двумя способами:

1) перед данным высказыванием ставятся слова «неверно, что»;