Теорема про додавання прискорень 3 страница

Для цього обираємо за полюс плану швидкостей довільну точку р і відкладаємо від неї відрізок рb, який зображає швидкість точки b в обраному масштабі:

.

При виборі величини масштабу μ_v керуються зручністю обчислень і побудови векторів швидкостей.

Відклавши відрізок рb, проведемо через точку b пряму, перпендикулярно до ланки ВС (напрямок обертальної швидкості ).

Далі з полюса р проведемо відрізок pd, який відповідає швидкості в обраному масштабі, і через кінець цього вектора d проведемо напрямок вектора відносної швидкості перпендикулярно до ланки СD.

Швидкість точки С визначається відрізком, що сполучає полюс р з отриманою точкою с.

Її дійсне значення:

v_C=(pc) μ_v.

Відрізки bc і dc виражають відносні швидкості і у тому ж масштабі:

v_CВ=(cb) μ_v,

v_CD=(cd) μ_v.

Напрямок векторів проставляємо відповідно до рівняння (3).

Трикутники рвс і pdc називають планами швидкостей ланок, а фігура pbcd називається планом швидкостей групи ВСD. Точка p – полюс плану швидкостей.

Користуючись планом швидкостей, можна визначити кутові швидкості ω₁ і ω₂ ланок 2 і 3.

Величини цих швидкостей визначаються за формулами:

де _BC, _CD – дійсні довжини ланок ВC і СD.

Підставляючи в рівняння величини швидкостей і , дістанемо:

Напрямок кутових швидкостей ω₂ та ω₃ можуть бути визначені таким чином. Подумки прикладаємо відрізки bc і dc, що зображають вектори і , до точки С кінематичної схеми, і бачимо, що обертання ланки 2 відбувається в напрямку ходу годинникової стрілки, а обертання ланки 3 – в напрямку, зворотному ходу годинникової стрілки.

Для визначення швидкості будь-якої точки F, яка лежить на осі ланки ВС, маємо векторне рівняння:

Згідно цього рівняння із точки b плану швидкостей проводимо напрямок вектора відносної швидкості точки F навколо точки В. Оскільки відносні швидкості будь-яких точок, що лежать на осі ВС ланки 2, перпендикулярні до осі ВС, то напрямок збігається з напрямком , тобто напрямок відрізка плану швидкостей bf збігаються з напрямком з відрізка bc.

Величину швидкості визначаємо із рівнянь:

Розділивши почленно першу рівність на другу, дістанемо:

.

Із рівняння випливає, що швидкості точок F та C відносно точки В прямо пропорційні відстаням цих точок до точки В.

звідки:

Таким чином, щоб визначити відрізок плану швидкостей, який зображає відносну швидкість , необхідно відрізок bc, який зображений на плані швидкостей відносну швидкість , розділити у тому ж співвідношенні, в якому точка F ділить ланку 2 на схемі групи. Відклавши отриманий відрізок на плані швидкостей і сполучивши точку f з полюсом р, дістанемо швидкість :

v_F=(pf)·μ_v.

Для визначення швидкості якої-небудь довільної точки Е ланки 3, складемо такі векторні рівняння:

, (4)

. (5)

Із рівностей дістанемо:

. (6)

Вектори і у рівнянні (6) відомі за величиною і напрямком, а вектори і відомі тільки за напрямком. Вони перпендикулярні до відрізків DЕ і ЕС. Із точки d плану швидкостей проводимо пряму, перпендикулярну до DЕ, а через точку с – перпендикулярну стороні ЕС. Точка перетину е і визначить кінець вектора швидкості :

v_Е=(pе)·μ_v.

Розглядаючи трикутник cdе плану швидкостей і трикутник CDЕ на ланці можна бачити, що відрізки се, еd та dc відповідно перпендикулярні до відрізків CE, DЕ та DC, тобто: ,

Таким чином, трикутник сdе на плані швидкостей подібний трикутнику СDЕ групи Ассура на кінематичній схемі й повернутий відносно нього на кут 90°. Ця властивість подібності дозволяє визначати швидкості будь-яких точок ланок механізму графічно, побудовою подібних фігур.

Питання для самоконтролю

1. У чому полягає кінематичний аналіз механізмів? Які завдання він виконує?

2. Які вихідні дані необхідні для кінематичного дослідження механізму і які його методи?

3. Які існують методи побудови положень ланок та траєкторій їх точок? Сутність методу засічок.

4. Дати означення плану швидкостей (прискорень) ланки та механізму.

5. Які вихідні дані мають бути при побудові плану швидкостей групи Ассура ІІ класу?

6. Як визначається швидкість точки ланки механізму, яка здійснює плоскопаралельний рух?

7. Як визначається величина та напрямок швидкості точки ланки, що здійснює обертальний рух?

8. Як визначаються кутові швидкості обертання ланок механізму (величина та напрямок)?

9. Як визначаються дійсні швидкості точок ланок механізму із плану швидкостей?

10. Визначення швидкості точки ланки, яка лежить на її осі.

11. Визначення швидкості точки ланки, яка не лежить на її осі.

12. Послідовність побудови плану швидкостей.

Лекція № 20

Тема: “ Кінематичний аналіз шарнірно-важільних механізмів. Побудова плану прискорень”

План

Побудова плану прискорень.

2..Приклад кінематичного аналізу плоского механізму методом планів.

Побудова плану прискорень

Аналогічно побудові плану швидкостей будується план прискорень.

Нехай маємо двоповодкову групу ВСD (рис.1,а).

Вихідними даними для неї є вектори прискорень у точках В та D (у відкритих кінематичних парах) та і довжини ланок 2 та 3. Необхідно визначити прискорення точки С.

Рух точки С розглядаємо як складний, який складається із переносно-поступального зі швидкістю та прискоренням точки В або D і відносно-обертального навколо цих точок.

Запишемо векторні рівняння:

де , – нормальні прискорення у відносному русі; , – тангенціальні (дотичні) прискорення у тому ж русі.

Розв’язуючи рівняння, маємо:

. (3)

У рівнянні (3) відомі за величиною і напрямком прискорення точок В та D, тобто та . Вектори нормальних прискорень та визначаються за формулами:

а) б)

Рис.1

Швидкості і можуть бути визначені із плану швидкостей. Тоді:

Вектор прискорення напрямлений із точки С у точку В паралельно ланці ВС (див. рис.1,а), а вектор прискорення – від точки С у точку D паралельно ланці СD.

Таким чином, нормальні прискорення відомі за величиною і напрямком. Вектори і відомі тільки за напрямком: вони напрямлені перпендикулярно до ланок відповідно ВС і CD. Величини їх можна визначити графічно, побудовою плану прискорень.

Обираємо за полюс точку π і відкладаємо відрізки πb та πd у масштабі μ_а, що зображають вектори прискорень та (рис.1,б). Так само, як і для плану швидкостей, при виборі масштабу μ_а плану прискорень керуються зручністю обчислень і графічних побудов:

Далі визначаємо та і відкладаємо відповідно із точок b та d відрізки bn₂ та dn₃:

паралельно ланкам 2 і 3, а із точок n₂ та n₃ проводимо прямі, перпендикулярні до ланок ВС і CD (напрямки тангенціальних складових прискорень). Точка перетину і дасть кінець шуканого вектора :

Маючи план прискорень, можна визначити кутові прискорення ε₂ та ε₃ ланок 2 та 3. Їх модулі дорівнюють:

або

де _BC, _CD – довжини ланок відповідно 2 та 3 у метрах.

Напрямки кутових прискорень визначається таким чином. Подумки переносимо вектори та , що зображаються відрізками n₂с та n₃c, із плану прискорень у точку С, і бачимо, що напрямок ε₂ збігається з напрямком ходу годинникової стрілки, а напрямок ε₂ протилежний ходу годинникової стрілки.

Методи пропорційних відрізків та подібних фігур справедливі й при побудові плану прискорень.

2. Приклад кінематичного аналізу плоского механізму методом планів

Виконати кінематичне дослідження механізму, зображеного на рис.2,а методом планів швидкостей і прискорень.

Вихідні дані: закон руху ведучої ланки у вигляді ω=const і кінематична схема механізму, побудована в масштабі μ_l.

Спочатку виконаємо структурний аналіз механізму. Цей шарнірно-важільний механізм ІІ класу ІІ порядку складається із двох груп Ассура ABD та CEF та однієї ведучої групи, до складу якої входить стояк та кривошип 1.

План швидкостей

Розпочинається кінематичний аналіз із ведучої групи. Оскільки кутова швидкість обертання ведучої ланки відома, то:

v_A=ω , м/с.

Вектор напрямлений перпендикулярно кривошипу в бік його обертання.

Розглянемо групу Ассура ABD. Відомі швидкості точок A та D: щойно визначили, а , тоді:

або

.

Розв’яжемо цю рівність графічно, тобто побудовою плану швидкостей. Для цього обираємо за полюс точку р (рис.2,б), з якої відкладаємо відрізок pa довільної довжини, що зображає вектор швидкості . Масштаб побудови обчислюємо за формулою:

, .

а)

б) в)

Рис.2

Через точку а та з полюса (точку d) проводимо прямі, перпендикулярні ланці АВ та стороні BD ланки 3 до їх перетину. Точка перетину b визначить кінець вектора абсолютної швидкості точки В.

Користуючись методом подібних фігур, визначаємо швидкість точки С.

Розглянемо наступну групу Ассура CEF. Швидкість точки С щойно визначили, а швидкість точки F, як такої, що належить стояку, дорівнює 0. Тоді:

Розв’язуючи цю систему рівнянь, маємо:

Розв’яжемо останнє рівняння графічно. З цією метою з точки с плану швидкостей проведемо пряму, перпендикулярну ланці СЕ (напрямок швидкості ), а із полюса (точки f) – горизонтальну пряму (напрямок швидкості ) до їх перетину. Точка перетину е і визначає кінець вектора абсолютної швидкості .

Дійсні значення швидкостей:

; ;

Визначимо кутові швидкості обертання ланок 2, 3 та 4:

; ; .

Покажемо їх напрямки на кінематичній схемі механізму.

План прискорень

Спочатку визначимо прискорення кінця кривошипа – точки А:

Оскільки ω=const, то . Вектор напрямлений вздовж кривошипа від точки А до центра обертання О.

Розглянемо групу Ассура ABD. Прискорення точки А відоме, а прискорення a_D=0. Тоді:

Звідси:

Нормальне прискорення визначимо за формулами:

; .

Розв’язуючи графічно зазначену вище рівність, оберемо за полюс точку π, з якої відкладено вектор довільної довжини πа вздовж кривошипа ОА (рис.2,в). Тоді масштаб побудови визначиться за формулою:

.

З точки а та із полюса (точки d) відкладаємо відрізки та паралельно відповідно ланці АВ та стороні BD ланки 3, а перпендикулярно до них проводимо прямі (напрямки векторів та ) до їх перетину. Точка перетину b визначить кінець вектора абсолютного прискорення .

Із методу подібності визначаємо прискорення .

Розглядаючи наступну групу Ассура CEF, маємо , тоді:

Звідси:

.

Тут:

Прискорення Коріоліса:

(оскільки ).

Прискорення та відомі за напрямками: перше перпендикулярне до ланки CE, а друге – паралельне напрямній поступальної пари. Отже, будуємо план прискорень для групи CEF. З цією метою з точки с плану прискорень відкладаємо відрізок cn₃ в напрямку нормального прискорення (вздовж ланки СЕ). З отриманої точки проводимо пряму, перпендикулярну до ланки СЕ (напрямок ), а з полюса – горизонтальну пряму (напрямок ) до їх перетину. Точка перетину е визначає кінець вектора абсолютного прискорення . Дійсні значення прискорень: