 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Миттьовий центр прискорень
|
|
1. Рівняння плоскопаралельного руху
Плоскопаралельним рухом або плоским рухом твердого тіла називається такий рух, в якому всі його точки переміщаються паралельно деякій нерухомій площині. Такий рух спостерігається в багатьох механізмах і машинах, наприклад, рух шатуна в кривошипно-повзунковому механізмі, рух колеса, яке котиться по прямолінійній ділянці. Обертальний рух тіла можна розглядати частковим випадком плоскопаралельного руху.
Вивчаючи плоскопаралельний рух твердого тіла, достатньо розглянути рух його плоского перерізу. Оскільки положення плоскої фігури на площині визначається положенням двох її точок або положенням відрізка, який з'єднує дві точки цієї фігури, то рух плоскої фігури в її площині можна вважати рухом прямолінійного відрізка АВ у цій площині (рис.1).
У свою чергу положення відрізка АВ можна визначити через координати хА, уА точки А і кутом φ, який він утворює з віссю х. Довільно обрана точка А для визначення положення фігури називається полюсом.
Оскільки координати хА, yА і кут φ будуть змінюватися з часом, то для визначення положення тіла в будь-який момент часу треба знати залежності:
xа=f1(t), уА=f2(t), φ=f3(t).
Ці рівняння називаються рівняннями плоскопаралельного руху тіла.
Покажемо, що переміщення фігури можна здійснити сукупністю двох переміщень: поступального і обертального. Уявимо, що плоска фігура перемістилася на площині з положення І (АВ) в положення ІІ(А1В1) (рис.2).
Спочатку перемістимо фігуру поступально з положення АВ в положення А1В', тобто так, щоб точка А перемістилась у нове положення А1, а точка В описала траєкторію, тотожну траєкторії точки А. Потім повернемо фігуру навколо точки А1 на кут φ1 так, щоб точка В' збіглася з точкою В1.
Тепер перемістимо фігуру поступально з положення АВ в положення А'В1, а потім повернемо її навколо точки В1 на кут φ 2 так, щоб точка А' збігалась з точкою А1.
Як бачимо, поступальні переміщення фігури різні, а величина кута повороту і напрямок його однакові φ1=φ2.
Отже, плоскопаралельний рух твердого тіла складається з поступального руху разом з довільно обраною точкою, тобто полюсом, і обертального руху навколо нього. При цьому поступальне переміщення залежить від вибору полюса, а обертальна частина руху – не залежить. Поступальна частина плоскопаралельного руху описується першими двома рівняннями, а обертання навколо полюса - третім із цих рівнянь.
2. Визначення швидкостей та прискорень точок тіла у плоскопаралельному русі.
Положення будь-якої точки М, взятої на тілі, яке здійснює плоскопаралельний рух, визначається радіусом-вектором 
у системі відліку Оху (рис.3).
Як бачимо з рисунка,
,
де 
– радіус-вектор полюса А, 
– вектор, який визначає положення точки М відносно осей Ах'у', що переміщаються разом з полюсом А поступально.
Звідси:
.
Тут 
не що інше, як швидкість полюса 
, а 
– швидкість 
, яку точка М отримує в обертанні тіла навколо полюса.
Отже,
.
Величина швидкості обчислюється за формулою:
vMA = ω МА.
Вектор напрямлений перпендикулярно радіусу-вектору 
.
Таким чином, швидкість будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі швидкості будь-якої іншої точки А, обраної за полюс, і швидкості точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса (див. рис.4).
Оскільки прискорення точки є другою похідною від радіуса-вектора, який визначає положення точки М, то запишемо:
Перший доданок – це прискорення полюса А, тобто аА, а 
– прискорення точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо полюса А. Тому:
Скориставшись формулами для обертального руху, маємо:
Таким чином, прискорення будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі прискорення якої-небудь іншої точки, обраної за полюс, і прискорення точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса (рис.5).
При розв’язанні задач часто зручнішим є заміна вектора 
його дотичною 
і нормальною 
складовими, де
=АМ·ε, 
=АМ·ω2.
Рис.6
|
Вектор напрямлений перпендикулярно відрізку АМ у бік обертання, коли воно прискорене, і в протилежний бік, коли воно сповільнене. Вектор напрямлений завжди вздовж відрізка АМ, причому від точки М до полюса А (рис.6).
Тоді дістанемо рівняння:
.
3. Миттьовий центр швидкостей. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла у його плоскопаралельному русі
Миттьовим центром швидкостей фігури в плоскопаралельному русі називається така її точка, абсолютна швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю. Такою точкою буде точка С (рис.7), у якої переносна швидкість 
полюса і відносна швидкість 
однакові за величиною ( 
= 
= ω·ОС) і напрямлені в протилежні боки. У кожний момент часу така точка тільки одна, тому вона обов'язково лежить на прямій МN, перпендикулярній , на відстані 
.
Справді,
.
Положення миттьового центра швидкостей постійно змінюється з часом. Отже, плоскопаралельний рух тіла можна подати увигляді миттьових обертань навколо центрів (осей), які займають у кожний момент часу різні положення.
Якщо, наприклад, у даний момент часу миттьовий центр швидкостей знаходиться в точці С (рис.8), то швидкості будь-яких інших точок А і В будуть перпендикулярні до прямих, які з'єднують ці точки з точкою С, і напрямлені в бік їх обертання, а їх модулі:
=ω·АС; 
=ω·ВС.
Отже, швидкість точки плоскої фігури дорівнює її обертальній швидкості навколо миттьового центра швидкостей С. Із рівності також виходить, що
,
тобто швидкості точок тіла пропорційні їх відстаням до митьового центра швидкостей.
Якщо відомі швидкості двох довільних точок плоскої фігури і 
(рис.8), то миттьовий центр швидкостей знаходиться в точці перетину перпендикулярів, проведених до цих векторів.
Якщо ж вектори швидкостей двох точок у даний момент часу паралельні, то можливі такі випадки (рис.9):
1. Вектори і паралельні й не перпендикулярні до прямої АВ, яка з'єднує точки А і В (рис.9,а). Миттьовий центр знаходиться у нескінченності, тобто обертання немає – тіло рухається поступально, і = .
2. Вектори швидкостей і точок А і В перпендикулярні до прямої АВ, яка з'єднує ці точки. Для визначення положення миттьового центра слід з'єднати прямою кінці векторів і знайти точку С перетину цієї прямої з прямою АВ (рис.9,б, в).
а) б) в)
Рис.9
Крім зазначених випадків (рис.9), не можна довільно задавати за модулем і напрямком вектори швидкостей двох точок фігури в її плоскопаралельному русі. Ці вектори зв'язані теоремою: проекції векторів швидкостей двох точок фігури на пряму, яка з'єднує ці точки, однакові між собою.
Доведення. Нехай на рис.10 побудовані вектори і . Якщо точку А обрати за полюс, то маємо:
= + 
.
Спроектувавши цю рівність на пряму АВ і врахувавши, що вектор напрямлений перпендикулярно АВ, а отже, пр. = 0, маємо пр. = пр. , що і треба було довести.
Справедливість твердження теореми очевидна із рисунка 10. Проекції вектора і вектора ,побудованих у точці В, на пряму АВ однакові, оскільки кінці цих векторів лежать на одному перпендикулярі до прямої АВ.
4. Миттьовий центр прискорень
Миттьовим центром прискорень називається точка, прискорення якої в даний момент часу дорівнює нулю.
Положення Q миттьового центра прискорень визначається тоді, коли відомі прискорення 
якої-небудь точки А тіла і кутові швидкість ω та прискорення ε тіла (рис.11).
Тоді знаходимо величину кута α за формулою:
Від точки А під кутом α до вектора проводимо пряму АЕ (рис.11), причому кут відкладаємо в бік обертання, якщо воно прискорене, і в протилежний бік, якщо воно сповільнене. Уздовж лінії АЕ помічаємо відрізок АQ, довжину якого знаходимо так:
AQ = 
.
Визначена таким чином точка Q і буде миттьовим центром прискорень. Справді:
aQA= 
= 
=aA..
Оскільки вектор 
повинен утворювати з лінією AQ кут α, то вектор паралельний , але напрямлений у протилежний бік, тобто = – , а тому 
= + = 0.
Якщо точку Q взяти за полюс, то прискорення будь-якої точки М буде:
= + 
= і аМ = QM .
Отже, прискорення будь-якої якої точки тіла дорівнює її прискоренню в обертальному русі навколо миттьового центра прискорень Q. При цьому:
тобто прискорення точок тіла пропорційні їх відстаням від миттьового центра прискорень.
Зазначимо, що положення центрів швидкостей і прискорень у даний момент часу не збігаються.
Задача. Визначити швидкість повзуна В і кутову швидкість шатуна АВ при горизонтальному положенні кривошипа ОА, який обертається навколо осі О з кутовою швидкістю ω0= 1,5 рад/с, якщо ОА= 0,2 м, АВ= 1 м.
Рис.12
|
Розв'язання. Знайдемо положення миттьового центра швидкостей шатуна, який у даному випадку знаходиться на перетині перпендикулярів до векторів швидкостей і точок А і В. Напрямки і відомі: напрямлений перпендикулярно до кривошипа ОА, тобто вертикально вгору, – паралельно напрямній х - х. Таким чином, миттьовий центр вказаних швидкостей знаходиться в точці С. Тепер можемо записати:
Але модуль швидкості точки А легко обчислюється із співвідношення:
vA=ω0ОА = 1,5·0,2 = 0,3 м/с.
Із рисунка бачимо, що довжина АС:
АС = 
= 0,6 (м).
Кутова швидкість шатуна ωав визначиться із формули:
ωАВ= 
рад/с.
Тепер обчислимо швидкість повзуна В:
vВ= 0,5·0,8=0,4 м/с.
Питання для самоконтролю
1. Який рух називається плоскопаралельним? Приклади плоскопаралельного руху.
2. Якими рівняннями описується плоскопаралельний рух? Їх тлумачення.
3. Як визначаються швидкості точок тіла у його плоскопаралельному русі? Довести.
4. Як визначаються прискорення точок тіла у його плоскопаралельному русі? Довести.
5. Яка точка називається миттьовим центром швидкостей плоскої фігури?
6. Як визначається положення миттьового центра швидкостей, якщо напрямки векторів швидкостей двох точок тіла відомі? У випадку, якщо вони паралельні?
7. Сформулювати та довести теорему про проекції швидкостей двох точок тіла у його плоскопаралельному русі.
8. Що називається миттьовим центром прискорень плоскої фігури? Як він визначається?
Лекція № 14
Тема: “Складний рух точки”
План
1. Абсолютний, відносний і переносний рухи.
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 742 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
