Плоскость

Определение 1. Вектор 0 называется перпендикулярным плоскости,если он перпендикулярен любому вектору, компланарному этой плоскости. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором (нормалью) этой плоскости.

Плоскость в пространстве можно задавать различными способами:

1) точкой плоскости и двумя неколлинеарными векторами, компланарными плоскости;

2) тремя точками плоскости, не лежащими на одной прямой;

3) точкой плоскости и ненулевым вектором, перпендикулярным плоскости.

Введем в пространстве СК OXYZ.Уравнение Ax+By+Cz+D , где , называется уравнением первого порядка, а поверхность, определяемая этим уравнением – поверхностью первого порядка.

Теорема 1. Поверхности первого порядка есть плоскости и только они.

Уравнение плоскости вида называется общим уравнением плоскости. Нетрудно видеть, что вектор есть нормаль плоскости, заданной уравнением .

Если имеется плоскость , заданная точкой и неколлинеарными векторами и , компланарными этой плоскости, то точка тогда и только тогда, когда векторы и компланарны. Поэтому уравнение плоскости есть

Векторы и образуют базис на плоскости . Разложив вектор по этому базису, мы получаем параметрические уравнения плоскости :

, где .

Если плоскость задана тремя не лежащими на одной прямой точками , , , то, взяв точку и векторы , , мы получим уравнение этой плоскости в виде:

.

Если плоскость задана вектором и точкой , то точка тогда и только тогда, когда вектор , т.е. . Поэтому уравнение плоскости есть .

Исследуем расположение плоскости относительно системы координат.

Теорема 2. Пусть плоскость p задана уравнением . Тогда:

1) проходит через начало координат.

2) Если , то .

Аналогично, если , то ; если , то .

3) Если , то , т.е. плоскость проходит через ось OZ.

Аналогично, если , то ; если , то .

4) Если , то .

Аналогично, если , то ; если , то .

5) Если , то .

Аналогично, если , то ; если , то .

Пусть заданы две плоскости и . Возможны три случая взаимного расположения плоскостей и :

1) и параллельны , т.е. не имеют общих точек;

2) и пересекаются, т.е. имеют общие точки, но не совпадают;

3) .

Теорема 3. 1) Û .

2) и пересекаются Û нарушено одно из равенств в соотношениях .

3) Û .

В случае 2) пересечения плоскостей пересечением плоскостей будет прямая. Эта прямая будет содержать любую точку , удовлетворяющую системе , а за направляющий вектор а этой прямой можно взять векторное произведение нормалей и плоскостей, т.е. = .

Как известно, углом между плоскостями и называется любой из двух смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями (в случае параллельных плоскостей угол между ними можно считать равным 0 или по желанию). Один из этих углов совпадает с углом между нормалями и , поэтому справедлива формула , т.е. . Условием перпендикулярности плоскостей будет равенство .

Расстоянием от точки М до плоскости p называется длина перпендикуляра, проведённого из точки М на плоскость p.

Теорема 4. Расстояние от точки до плоскости p, заданной уравнением , определяется по формуле

.

Две параллельные плоскости и можно задать уравнениями, отличающимися только свободными членами: , . Как известно, за расстояние между параллельными плоскостями принимают расстояние от какой-либо точки одной плоскости до другой плоскости. Используя только что полученную формулу, нетрудно показать, что .

Как известно, углом между прямой и плоскостью в случае, когда прямая и плоскость не перпендикулярны, называется любой из двух смежных углов между прямой и её проекцией на плоскость.

Теорема 5. Пусть , плоскость задана уравнением , а прямая d-уравнением . Тогда .

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой d и плоскости p.

Теорема 6. Пустьплоскость p заданная уравнением , а прямая d- уравнением . Тогда:

1) d лежит в плоскости p Û , .

2) (т.е. не имеют общих точек) Û , .

3) d пересекает p (т.е. имеет с p одну общую точку) Û .

4) плоскость p прямая d взаимно перпендикулярны Û .