![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим упорядоченную тройку векторов .
Определение1. Смешанным произведением векторов
называется число, определяемое следующим образом:
, т.е. векторно перемножаем а и b и полученный вектор скалярно умножаем на вектор с.
Смешанное произведение есть скаляр. Выясним его геометрический смысл.
Определение 2. Пусть
-упорядоченная тройка некомпланарных векторов. Приложим их к одной точке и построим параллелепипед, образующими рёбрами которого будут векторы
. Если тройка векторов
– правая (левая), то и параллелепипед будем называть правоориентированным (левоориентированным).
Определение 3. Объёмом ориентированного параллелепипеда, построенного на векторах , называется число, обозначаемое
, и равное объёму этого параллелепипеда, взятому со знаком плюс, если тройка
– правая, и со знаком минус, если тройка векторов
левая.
Геометрический смысл смешанного произведения даёт следующая
Теорема 1. =
.
Наряду с параллелепипедом можно рассматривать ориентированный тетраэдр, и тогда для объёма
ориентированного тетраэдра будет справедлива формула
.
Введём прямоугольную СК ОXYZ.
Теорема 2. Пусть ,
,
.Тогда
,
т.е. смешанное произведение векторов равно определителю матрицы, строками которой являются координаты векторов
. Знак определителя определяет ориентацию тройки: "+" – правая, "–" – левая ориентация.
Следствие 1. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно 0.
Теорема 3 (Свойства смешанного произведения).
1. С мешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:
.
2. Перестановка любых двух векторов меняет знак смешанного произведения:
.
3. Смешанное произведение линейно по каждому аргументу. Например, по второму:
.
4. (смешанное произведение ассоциативно относительно операции векторного произведения).
Действительно, с учётом свойства 1, имеем .
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 229 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!