Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Как понятие скалярного произведения возникает из понятия работы, так понятие векторного произведения возникает из понятия момента силы.
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку . Пусть к точке этого тела приложена сила . Из физики известно, что воздействие этой силы на тело с неподвижной точкой характеризуется особой векторной величиной , которая называется моментом силы относительно точки . Модуль момента равен площади параллелограмма, построенного на векторах и . Направлен момент по перпендикуляру к плоскости, проходящей через точку и силу , в ту сторону, откуда вращение тела вокруг точки , вызываемое силой , видно происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы относительно точки и называется векторным произведением вектора , соединяющего точку с точкой приложения силы, и вектора силы .
Перейдем теперь к общим определениям.
Определение 1. Рассмотрим в пространстве упорядоченную тройку некомпланарных векторов а, b, с. Тройка векторов а, b, с называется правой (левой), если наименьший поворот вектора до совмещения его с вектором виден из конца вектора происходящим против хода (по ходу) часовой стрелки. На рисунке изображена левая тройка векторов а, b, с.
Определение 2. Пусть имеется упорядоченная пара векторов а и b. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение [ a, b ] равно 0. В противном случае векторным произведением [ a, b ] векторов а и b называется вектор n, длина и направление которого задаются условиями:
1) .
2) .
3) – правая тройка.
Из определения векторного произведения следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов а и b есть площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. Из определения векторного произведения также следует, что
0 .
Теорема 1 (Законы векторного произведения).
1) (антикоммутативность);
2) (аддитивность).
3) .
Свойства 2) и 3) называются линейностью векторного произведения по первому аргументу. Нетрудно видеть, что векторное произведение векторов линейно также и по второму аргументу, т.е.
Введём теперь СК OXYZ. Очевидно, для ортов координатных осей справедливы равенства:
Используя эти равенства и линейность векторного произведения векторов как по первому, так и по второму аргументам, получаем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть векторы а и b заданы координатами: , . Тогда вектор , где
, , .
Замечание 1. Для вычисления координат можно использовать разложение по первой строке определителя матрицы, составленной из базиса и координат векторов а и b:
.
Следствие 1. Зная координаты векторного произведения, можно получить формулу для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах а и b:
S ▱= .
Замечание 2. Векторы и можно рассматривать лежащими
на плоскости ОХY. Тогда координаты , и для площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, мы получаем формулу:
S ▱= .
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 444 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!