![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Как понятие скалярного произведения возникает из понятия работы, так понятие векторного произведения возникает из понятия момента силы.
Пусть твердое тело имеет одну неподвижную точку . Пусть к точке
этого тела приложена сила
. Из физики известно, что воздействие этой силы
на тело с неподвижной точкой
характеризуется особой векторной величиной
, которая называется моментом силы
относительно точки
. Модуль момента равен площади параллелограмма, построенного на векторах
и
. Направлен момент
по перпендикуляру к плоскости, проходящей через точку
и силу
, в ту сторону, откуда вращение тела вокруг точки
, вызываемое силой
, видно происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы
относительно точки
и называется векторным произведением вектора
, соединяющего точку
с точкой
приложения силы, и вектора силы
.
Перейдем теперь к общим определениям.
Определение 1. Рассмотрим в пространстве упорядоченную тройку некомпланарных векторов а, b, с. Тройка векторов а, b, с называется правой (левой), если наименьший поворот вектора
до совмещения его с вектором
виден из конца вектора
происходящим против хода (по ходу) часовой стрелки. На рисунке изображена левая тройка векторов а, b, с.
Определение 2. Пусть имеется упорядоченная пара векторов а и b. Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное произведение [ a, b ] равно 0. В противном случае векторным произведением [ a, b ] векторов а и b называется вектор n, длина и направление которого задаются условиями:
1)
.
2) .
3) – правая тройка.
Из определения векторного произведения следует, что модуль векторного произведения
ненулевых векторов а и b есть площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b. Из определения векторного произведения также следует, что
0
.
Теорема 1 (Законы векторного произведения).
1) (антикоммутативность);
2) (аддитивность).
3) .
Свойства 2) и 3) называются линейностью векторного произведения по первому аргументу. Нетрудно видеть, что векторное произведение векторов линейно также и по второму аргументу, т.е.
Введём теперь СК OXYZ. Очевидно, для ортов координатных осей справедливы равенства:
Используя эти равенства и линейность векторного произведения векторов как по первому, так и по второму аргументам, получаем следующую теорему.
Теорема 2. Пусть векторы а и b заданы координатами: ,
. Тогда вектор
, где
,
,
.
Замечание 1. Для вычисления координат можно использовать разложение по первой строке определителя матрицы, составленной из базиса
и координат векторов а и b:
.
Следствие 1. Зная координаты векторного произведения, можно получить формулу для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах а и b:
S ▱= .
Замечание 2. Векторы и
можно рассматривать лежащими
на плоскости ОХY. Тогда координаты , и для площади параллелограмма, построенного на векторах а и b, мы получаем формулу:
S ▱= .
Дата публикования: 2015-09-18; Прочитано: 466 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!