Сложные стохастические сети

Стохастическая сеть, состоящая из ветвей, представляющих в данной сети сложные (композиционные) процессы и/или содержащая различные типы логических узлов (вершин) называется сложной.

Как следует из определения, возможны следующие виды сложных стохастических сетей:

- сеть содержит узлы одного типа, но ветви представляют композиционные случайные процессы. Сложные стохастические сети данного вида называются укрупненными и находят наиболее широкое применение;

- сеть содержит несколько типов вершин, предусматривающих реализацию различных логических операций. При этом, ветви представляют элементарные (неделимые) процессы. Такие сети называются смешанными;

- сеть содержит несколько типов вершин, а ветви представляют композиционные процессы. Сети данного вида будем называть укрупненными смешанными сетями.

Основной особенностью укрупненных сетей является то, что их ветви характеризуются эквивалентными функциями, полученными, как правило, из простых стохастических сетей. Поэтому для получения эквивалентной функции укрупненной стохастической сети используются те же правила, что и для простых сетей. Это позволяет говорить о вложенности разрабатываемых моделей и дает возможность проведения поэтапного (поэлементного) анализа исследуемой системы и процесса ее функционирования. Поэтапность моделирования может существенно облегчить и решение задач синтеза системы по показателям, определяемым из эквивалентной функции. Кроме того, это позволяет анализировать качество функционирования системы связи с точки зрения системы управления силами и оружием. Более подробно эти вопросы будут рассматриваться в другом разделе.

Если анализируемый процесс представлен в виде смешанной стохастической сети, безусловное использование изложенного выше подхода, для определения эквивалентной функции, не является правомочным. Поэтому, на первом этапе анализа сети производится преобразование узлов «Включающее ИЛИ» и «И» в узлы типа «Исключающее ИЛИ». А затем, используя выше приведенные правила определяют эквивалентную функцию стохастической сети. То же касается и укрупненных смешанных сетей. Так как указанное преобразование узлов является общим для двух видов сложных сетей, то рассмотрим его более подробно.

Преобразование узлов «И» и «Включающее ИЛИ» производится на основе следующих утверждений:

1. Все узлы работают так, как если бы в один момент времени реализовалась одна и только одна входящая в узел ветвь и только одна ветвь являлась исходящей. Это означает, что при последовательном соединении ветвей вид узла не оказывает влияния на эквивалентную функцию;

2. Понятие петли применяется только для узлов «Исключающее ИЛИ». Это обусловлено тем, что петля реализуется только после прямой ветви и исключает возможность их одновременной реализации, предусматриваемой логической операцией «И». Однако, по той же причине, в общем случае, узел «Включающее ИЛИ» может быть заменен на узел «Исключающее ИЛИ»;

3. Множество взаимно исключающих путей стохастической сети является счетным.

С учетом перечисленных утверждений рассмотрим стохастическую сеть, содержащую узлы типа «И», (рис.8).

Рис. 8

Узел 4 будет реализован только в том случае, когда будут реализованы узлы 1, 2 и3, а также ветви E, F, A и B. Положим, что вероятности реализации узлов 1,2 и 3 соответственно равны 1, а вероятности выбора ветвей равны: p_A; p_B; p_D = 1- p_A, p_C = 1 - p_B; p_E = p_F =1. При этом, случайные времена реализации ветвей составляют: t_A; t_B; t_C; t_D; t_E = t_F = 0.

Отсюда, вероятность реализации узла 4, а значит и сети в целом:

P_AÇB = p_Ap_B,

а время ее реализации определяется из условия

t_p= max (t_A, t_B) = h.

Полагая, что ветви A и B имеют эквивалентные функции Q_A(s) и Q_B(s), с использованием теоремы упреждения (см. свойства преобразований Лапласа [5]) получим эквивалентную функцию сети (рис.8)

, (20)

Где: символ L^-1{*} соответствуетоперации обратного интегрального преобразования;

Результат ф(20) позволяет поставить в соответствие узлу «И» узел «Исключающее ИЛИ» и может быть обобщен на любое число входящих в узел «И» ветвей.

В частном случае, когда время реализации ветвей А и В характеризуются экспоненциальным законом распределения, т.е.

эквивалентная функция сети (рис. 8) имеет вид:

где: a=1/t_A; b=1/t_B; ϴ=1/(a+b).

Рассмотрим теперь стохастическую сеть, содержащую узел «Включающее ИЛИ» (рис.9) и определим времена и вероятности реализации взаимно исключающих ветвей:

1. Вероятность реализации только ветви A, входящей в узел 4 равна

P_A = p_A –p_AÇB = p_A - p_Ap_B,

а время ее реализации равно t_A;

2. Вероятность реализации только ветви B, входящей в узел 4 равна

P_B = p_B –p_AÇB = p_B - p_Ap_B,

а время ее реализации равно t_B;

3. Вероятность совместной реализации ветвей A и B равна

P_AB = p_AÇB = p_Ap_B,

а время реализации составляет t_p= min (t_A, t_B).

Тогда, стохастическая сеть, эквивалентная исходной (рис.9) примет вид (рис.10).

Рис. 9

Рис. 10

Ветви стохастической сети (рис.10) имеют эквивалентные функции:

Q_F(s) = Q_A(s) – Q_A(s)Q_B(s);

Q_G(s) = Q_B(s) – Q_A(s)Q_B(s);

Q_H(s) = Q_A(s)Q_B(s) exp{- s },

а значит эквивалентная функция сети в целом имеет вид (см.ф.17)

Q(s) = Q_A(s) + Q_B(s) – Q_AВ(s)],

где: t_p= min (t_A, t_B);

Комплексные интегралы в правой части распространяются вдоль вертикальных прямых в комплексной плоскости. При этом в первом интеграле точку х₁ на вещественной оси и комплексную точку s следует взить настолько далеко вправо, чтобы для точки y, перемещающейся вдоль вертикальной прямой, соединяющей точки (х₁-∞) и (х₁+∞), соблюдались два условия: чтобы у оставалась в полуплоскости сходимости изображения L{Q_A(s)}, и чтобы s-yоставалось в полуплоскости сходимости изображения L{Q_В(s)}. То же относится и ко второму интегралу.

В частном случае, когда время реализации ветвей А и В характеризуются экспоненциальным законом распределения, т.е.

эквивалентная функция сети (рис. 9) имеет вид:

Таким образом, при наличии в стохастической сети различных видов узлов их необходимо преобразовать в узлы «Исключающее ИЛИ», составить эквивалентную стохастическую сеть, а затем определить ее эквивалентную функцию.