Лекция 16

СУЩНОСТЬ И СОДЕРЖАНИЕ МЕТОДА ТПСС

Для исследования систем с обратной связью в радиотехнике нашли широкое применение сигнальные и потоковые графы, методы исследования которых были разработаны С.Мэзоном еще в 1953 году. А. Присткер и В. Харп применили теорию потоковых графов к исследованию временных процессов. Так как процесс передачи потоков сообщений по сетям связи является случайным временным процессом, то академиком Захаровым Г.П. был предложен, а его учениками успешно использован для анализа систем связи общего назначения метод топологического преобразования стохастических сетей (ТПСС).

Суть метода заключается в том, что исследуется не система, а целевой процесс, который она реализует. Этот сложный процесс декомпозируется на элементарные процессы, каждый из которых характеризуется функцией распределения или средним и дисперсией времени его выполнения.

Логика и последовательность выполнения процессов определяется двухполюсной сетью, состоящей из входного, промежуточных и выходного узлов (вершин), при этом ребрам соответствует набор элементарных процессов, а вершинам (узлам) условия их выполнения. Каждый узел выполняет две функции – входную, определяющую условие выполнения узла и выходную, определяющую какие из операций, следующих за узлом, будут выполняться. Входной узел сети выполняет только выходную функцию, а выходной только входную. Для каждого из ребер определяется функция передачи – условная характеристическая функция, являющаяся преобразованием Лапласа функции плотности распределения вероятностей времени свершения элементарного процесса.

Далее осуществляется топологическое преобразование стохастической сети по правилу Мэйсона. При этом топологическим инвариантом является свойство связности сети. Поскольку входная и выходная вершины двухполюсной сети (графа) являются связными, то топологическое преобразование приводит к получению эквивалентной функции, сохраняющей в своей структуре параметры распределения и логику взаимодействия элементарных случайных процессов.

Получение эквивалентной функции позволяет известными методами определить первые моменты случайного времени выполнения целевого процесса либо произвести ее обратное преобразование по Лапласу (определить ее оригинал в пространстве изображений Лапласа), результатом которого является функция плотности вероятностей времени выполнения этого процесса.

Таким образом, сущность метода ТПСС состоит в представлении анализируемого процесса в виде стохастической сети, замене множества элементарных ветвей сети одной эквивалентной и последующим определением эквивалентной функции сети, начальных моментов и функции распределения случайного времени ее реализации, т.е. реализации анализируемого процесса.

Из сущности метода ТПСС следует, что для его применения необходимо правильное, не искажающее физического смысла представление анализируемого процесса функционирования системы связи или ее элемента стохастической сетью. Поэтому изучение метода начнем со знакомства с элементами стохастических сетей.

1. Стохастические сети и их элементы

Под стохастической сетью пронимается совокупность взаимоувязанных узлов (вершин) и ветвей, соединение которых соответствует алгоритму функционирования исследуемой системы. При этом сеть реализуется, если будет выполнено некоторое подмножество ветвей, время реализации которых выбирается в соответствии с вероятностным распределением.

Как следует из определения, стохастическая сеть состоит из вершин (узлов) и ветвей. Вершина стохастической сетихарактеризуется вероятностью его реализации и может быть интерпретирован как состояние системы. Поскольку стохастическая сеть является двухполюсной, то ее вершины подразделяются на входную, выходную и промежуточные (внутренние).

Каждая промежуточная вершина сети состоит из входной (приемной) и выходной (распределительной) частей, отображающих те, или иные логические операции. В настоящее время используются 3 вида входных («И», «ИЛИ» и «Иск.ИЛИ») и 2 выходных («детерминированный» и «вероятностный») частей вершин. Графическое представление различных типов вершин показано в табл.1.

Таблица1.

Выход \ Вход	Иск. ИЛИ	ИЛИ	И
Детерминированный
Вероятностный

Входная часть вершины определяет условие (логическую операцию), при котором она может быть выполнена.

Выходная часть определяет совокупность условий, определяющих возможность выполнения данной вершины. Другими словами выходная функция показывает, все ли исходящие из вершины ветви должны быть выполнены, или только одна из них.

Рассмотрим указанные типы вершин более подробно.

«Исключающее ИЛИ» - предусматривает реализацию вершины при выполнении любой ветви, входящей в данную вершину. При этом, одна и только одна ветвь может быть реализована в заданный момент времени.

«Включающее ИЛИ» – реализация любой ветви, входящей в вершину приводит к ее реализации. Временем ее реализации является минимальное время свершения подпроцессов, соответствующих любой из входящих ветвей.

«И» – данная вершина будет реализована только тогда, когда все входящие в нее ветви реализуются. Время реализации такой вершины соответствует максимальному времени свершения подпроцессов, соответствующих всем входящим ветвям.

«Детерминированный выход» - в случае реализации вершины, используются все исходящие из нее ветви. Все ветви начинающиеся от этой вершины реализуются с вероятностью равной единице.

«Вероятностный выход»- при реализации вершины, в лучшем случае используется одна исходящая ветвь.

В зависимости от вида входной и выходной частей вершины ей присваивается соответствующее наименование. При этом, на первое место ставится вид выхода, а на второе – вид входа. Например, детерминированная вершины «И», вероятностная вершина «Включающее ИЛИ» и т.д.

Очевидно, что с использованием перечисленных видов вершин можно достаточно точно описать алгоритмы и процессы функционирования различных средств связи, процессы принятия решений, обучения и т.п.

Следующим элементом стохастической сети является ветвь, интерпретируемая как переход из одного состояния в другое и характеризующаяся:

· вероятностью того, что данная ветвь будет выбрана при условии реализации вершины из которой она исходит (вероятность этого события обозначим p_вв);

· преобразованием Лапласа f(s) функции распределения (фр) F(t) длительности времени, необходимого для реализации элементарного процесса, который изображает данная ветвь.

.

Следует заметить, что в качестве второй характеристики ветви может быть использована производящая функция моментов, характеристическая функция или любое другое интегральное преобразование. Выбор и использование в дальнейшем именно преобразования Лапласа обусловлено ясностью физического смысла, а также полнотой разработки математического аппарата этого раздела операционного исчисления.