Параллельное соединение ветвей стохастической сети

Рассмотрим стохастическую сеть (рис.3), состоящую из двух параллельных ветвей, характеризующихся вероятностями их выбора p_a и p_b, а также преобразованиями Лапласа функций плотности f_a(s) и f_b(s) вероятностей времен их реализации.

Рис. 3

Определим эквивалентную функцию Q_ij(s) этой стохастической сети.

По определению эквивалентной функции Q_ij(s) = p_ijf_ij(s).

При этом, p_ij = p_a+p_b и

.

Поэтому

.

Следовательно, если стохастическая сеть состоит из n параллельно соединенных ветвей, то

. (17)

Таким образом, эквивалентная функция стохастической сети, состоящей из параллельно соединенных ветвей равна сумме эквивалентных функций этих ветвей.

Петли.

Связная замкнутая последовательность ориентированных ветвей стохастической сети, каждая вершина которых является общей ровно для двух ветвей или ветви, соединяющие вершину саму с собой, называется петлей.

Рис. 4

Рассмотрим стохастическую сеть (рис.4), состоящую из ветвей a и b. Реализация ветви a приводит к повторной реализации i- го узла, а реализация второй – к реализации j- го исходящего узла сети.

Ветви характеризуются соответствующими эквивалентными функциями Q_a(s) и Q_b(s). Определим эквивалентную функцию стохастической сети указанного вида.

Для определения эквивалентной функции представим исходную сеть в виде бесконечной последовательности параллельных цепей, каждая из которых состоит из последовательно соединенных ветвей (рис.5).

В этом случае эквивалентными функциями цепей сети (рис.5) являются: Q_b(s), Q_b(s)Q_a(s), Q_b(s) Q_a²(s), Q_b(s) Q_a³(s),…, Q_b(s) Q_aⁿ(s),... Отсюда, эквивалентная функция стохастической сети равна

Q_ij (s) = Q_b(s) + Q_b(s)Q_a(s) + Q_b(s) Q_a²(s) + Q_b(s) Q_a³(s)+…+Q_b(s) Q_aⁿ(s)+… =

.

Заметим, что выражение в скобках является биномиальным рядом, сходящимся к [1 – Q_a(s)]^-1. Следовательно, окончательная формула эквивалентной функции

Рис. 5

стохастической сети (рис.4) имеет вид

. (18)

Таким образом, мы познакомились с понятием эквивалентной функции стохастической сети, преобразующей исходную сеть, содержащую сколь угодно большое число ветвей к эквивалентной стохастической сети, состоящей из одной ветви. Для получения эквивалентной функции, необходимо представить анализируемый процесс в виде стохастической сети с последующей поэтапной заменой подмножеств ее ветвей эквивалентными, путем использования рассмотренных базовых структур и соответствующих им эквивалентных функций. С целью обобщения приведенных результатовВ дальнейшем рассмотрим основные виды стохастических сетей и основные правила получения для них эквивалентных функций.