Разложение Хевисайда

В этом, самом распространенном случае, эквивалентная функция представляется в виде отношения двух многочленов f(s) и φ(s), степеней m и n соответственно, т.е.

, deg[ f(s) ]= m; deg[ φ (s) ]= n; n>m

где deg[ * ] – степень соответствующего многочлена.

Условие n>m позволяет использовать теорему о вычетах и при

φ(s) = a₀(s - s₁)(s - s₂)…(s – s_i)…(s - s_n), s_i¹ s_i+1 , i = 1,n;

представить эквивалентную функцию в виде суммы:

,

где φ’(si) –значение производной многочлена знаменателя в точке s_i. А значит

.

В случае кратных корней, т.е. если

φ (s) = a₀(s - s₁)^a₁ (s - s₂)^a₂ …(s – s_i)^a_i … (s - s_n)^a_n, s_i¹ s_i+1 , i = 1,n;

оригинал определяется по формуле:

.

Если φ(s) имеет комплексно сопряженные корни s = α±jy, то пары членов, соответствующих этим корням можно преобразовать

,

где R = 2ÖA²+B²; a = -arctg[ A/B ]; a^¢ = arctg[ B/A ]. При этом, если A, B, R, a и a^¢ - являются действительными, то и L^-1[Q(s)] = f(t) является действительной функцией.