С неизвестными

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:

Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных:

Матрица, полученная из матрицы путем добавления к ней справа столбца свободных членов , называется расширенной матрицей данной системы и обозначается символом :

.

Относительно данной системы имеет место следующая теорема:

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы .

Не доказывая теорему, заметим, что ранг матрицы , как это следует из определения расширенной матрицы, не может быть больше ранга расширенной матрицы . Следовательно, ранг матрицы меньше ранга расширенной матрицы или равен ему.

В теореме Кронекера-Капелли утверждается, что если ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы , то данная система совместна, если – меньше, то система несовместна.

Если система совместна, то решение ее находят, пользуясь следующим правилом:

- если , то система имеет единственное решение;

- если , то система имеет бесчисленное множество решений.