Графические решения обратных позиционных задач

Решение задачи № 3 на принад-лежность точки и прямой к плоскости a (a || b).

Подробно рассмотрено на приме-рах решения задач №3.1 – 3.4. (см. рис. 10.1, 10.2).

Основано на графическом модели-ровании геометрических условий при-надлежности точки и прямой к плос-кости (см. рис.5.45).

1. .А Î a

А ₂ Î а ₂; А₁ Î а₁;

2. В Î b;

В ₂ Î b ₂ ; B₁ Î b ₁ ;

3. c ' [(A Î a)Ù(B Î b)]Þ c Î a;

c₂ ' A ₂, B ₂;

c₁ ' A₁, B₁;

4. K Î (c Î a) Þ K Î a;

K₂ Î c₂; K₁ Î c₁.

Решение задачи №4 на пересече-ние прямой с плоскостью в заданной точке. (см. рис.10.30).

В решении этой задачи графически моделируется условие 2 взаимного пе-ресечения прямой с плоскостью (см. рис. 5.48, п.2).

1. 1 Î f₂° ; 3. K Î h;

1₂ Î f₂°; K₂ Î h₂;

1₁ Î f₁° º x₁₂; K₁ Î h₁;

2. 1 Î h || h₁°; 4. K Î a х a;

(h₂ ' 1₂) || h₂ °; K₂ Î a₂;

h₁ ' 1₁ || h₁ °; K₁ Î a₁.

Решение задачи №5 на паралле-льность прямой линии и плоскости

(рис.10.31).

1. a Î с;

с₂ Î (1₂ , 2₂) Î a_{2 ;}

с₁ Î (1₁, 2₁) Î a₁;

2. А Î d || c;

A₂ Î d₂ || c₂;

A₁ Î d₁ || c₁.

d || a

Решение задачи №6 на перпенди-кулярность прямой линии и плоскости

(рис.10. 32).

В этом решении графически моде-

лируется геометрическое условие пер-пендикулярности прямой к плоскости:

а ^ [(b x c = K)] Î a Þ a ^ a,

которое в общем случае требует пред-варительных рассуждений:

1. Если плоскость a занимает в пространстве общее положение, то перпендикуляр р к ней также занимает общее положение;

2. Если прямая р перпендикулярна к плоскости a, то она перпендикулярна ко всем прямым этой плоскости, в том числе и к тем двум пересекающимся b и с, которые определяются условием перпендикулярности прямой линии к плоскости;

3. Так как искомая прямая занимает в пространстве общее положение, то, для того, чтобы графически смодели-ровать её перпендикулярность к пло-скости a, необходимо, чтобы прямые b и с, принадлежащие этой плоскости, были бы её линиями уровня, ибо толь-ко при этом условии прямые углы между а и b, а и с спроецируются на соответствующие плоскости проекций в натуральную величину (см. рис. 9.16).

Отсюда вывод: Пересекающиеся пря- мые b и с в плоскости общего поло-жения, на которую необходимо опу-стить перпендикуляр, д о л ж н ы

б ы т ь е ё л и н и я м и у р о в н я.

В результате получается такая по-следовательность решения поставлен-ной задачи:

1. a (m х n) ' h || П₁;

h₂ ' [(1₂ Î m₂) Ù (2₂ Î n₂)] ^ A₂A₁;

h₁ ' (1₁ Î m₁) Ù(2₁ Î n₁);

2. p₁ ^ h₁;

3. a (m х n) ' f || П₂;

f₁ ' [(3₁ Î m₁) Ù 4₁ Î n₁)] ^ A ₂A₁;

f₂ ' (3₂ Î m₂ ) Ù (4₂ Î n₂);

4. p₂ ^f_2.

------------------------------------------------

p (p₁ ^ h₁ Ù p₂ ^ f₂) ^ a.

Утверждение 10.7. Если горизон-тальная проекция прямой линии пер-пендикулярна к горизонтальной проек-ции горизонтали плоскости, а фрон-тальная проекция прямой линии пер-

пендикулярна к фронтальной проекции

её фронтали, то изображённая пря-мая линия перпендикулярна к изобра-

женной плоскости, т.е.

p₁ ^ h₁, p₂ ^ f₂ Þ p ^ a ( f х h ).

Рис. 10.33. Графические модели

прямых линий, перпендикулярных к плоскостям, заданным их линиями уровня.

Рис.10.34. Графическая модель

плоскости, перпендикулярной к прямой

линии общего положения

Рис.10.35. Графическая модель взаимно-перпендикулярных прямых

линий общего положения

Если плоскость задана её линиями уровня или следами, то решение этой задачи имеет простейший вид (рис.10. 33, а, б).

Решение задачи №7 (взаимной за- даче №6 ) на перпендикулярность пло-скости к прямой линии (рис.10.34).

В этом решении графически моде-лируется геометрическое условие пер-пендикулярности плоскости к прямой:

(b х c) Î a Ù(b ^ a, c ^ a) Þ a (b х c) ^ a,

т.е., если две пересекающиеся прямые,

принадлежащие плоскости a, порознь перпендикулярны к прямой линии а, то определяемая ими плоскость перпен-дикулярна к это линии.

Если прямая а занимает в прост-ранстве общее положение, то и перпен-дикулярная к ней плоскость также зани-мает в пространстве общее положение.

Так как все прямые плоскости, пер-пендикулярной к данной прямой, также перпендикулярны к ней, то для графи-ческого моделирования их перпендику-лярности необходимо, чтобы пара пе-ресекающихся прямых этой плоскости была бы парой её линий уровня (или искомая плоскость задавалась бы её горизонталью и фронталью).

Отсюда вытекает такая последова-тельность решения этой задачи:

1. А Î h ^ a;

A ₂ Î h ₂ ^ A ₂ A₁,

A₁ Î h₁ ^ a₁.

2. A Î f ^ a;

A₁ Î f₁ ^ A ₂ A_{1 ,}

A ₂ Î f₂ ^ a ₂.

--------------------------------

a (f х h) ^ a

Решение задачи №8 на перпенди-кулярность двух прямых общего поло-

жения (рис. 10. 35)

Если обе стороны прямого угла за-нимают в пространстве общее положе-ние, то этот угол не спроецируется ни на одну из плоскостей проекций в нату-

ральную величину.

Известно, что геометрическим мес-том всех перпендикуляров к данной прямой а является плоскость, перпен-дикулярная к ней.

Если такая плоскость a проходит через точку А вне прямой а, то она пе-ресечет эту прямую в точке К, которая определит с точкой А искомый перпен-дикуляр АК к прямой линии а общего положения.

Отсюда вытекает последователь-ность решения данной задачи:

1. А Îa (f х h) ^ a; (см. решение

задачи №7)

2. а Î s ^ П₁,

s₁ º а_{1 ..}

3. b = s х a;

b₁ º a₁ º s₁ º(1₁ Î f₁) Ù (2₁ Î h₁),

b₂ ' (1₂ Î f₂) Ù (2₂ Î h₂)

4. К = b х a;

K₂ = b ₂ х a₂;

K₁ Î a₁ º b₁.

---------------------------

AK ^ a.

Решение задачи №9 на пересека-емость двух плоскостей по заданной прямой (рис.10.36)

Эта задача взаимна задаче №1 на построение линии пересечения двух плоскостей и является позиционной задачей на инцидентность плоскости к прямой линии.

Так как заданная по условию пря-мая а должна принадлежать искомым плоскостям, т.е., быть элементом их задания, то достаточно дополнить её до задания этих плоскостей.

Для этого достаточно через точку А прямой провести две некомпланарные прямые b и с, которые в паре с прямой а определят искомые плоскости a и b.

Рис. 10.36. Графическая модель

двугранного угла при ребре АВ

Рис. 10.37. Графическая модель двух взаимно параллельных плоскостей

Рис. 10.38. Графическая модель двух взаимно-перпендикулярных плоскостей

Рис. 10.39. Графическая модель плоскостей a (е x q) и t (р || q), перпендикулярных к плоскости

b (f x h).

Решение задачи №10 на паралле-льность двух плоскостей (рис.10.37)

В этом решении графически моде-лируется геометрическое условие па-раллельности двух плоскостей:

(а х b)Îa, (b х c)Î b Ù a || c, b || d Þ

Þ a || b.

Для этого через точку D вне плоско-сти a (D АВС) необходимо провести прямую с, параллельную стороне АВ и прямую d, параллельную стороне АС и графически промоделировать эти дей-ствия:

1. (D Ï a) Î c || AB;

D₂ Î c₂ || A₂ B₂;

D₁ Î c₁ || A₁ B_1/

2. D Î d || AC;

D₂ Î d₂ || A ₂ C₂;

D₁ Î d₁ || A ₁C_{1 .}

------------------------------

b (c х d) || a(AB х AC).

Решение задачи №11 на взаимную

перпендикулярность двух плоскостей (рис.10.38, 10.39).

Для решения этой задачи достаточ-но графически промоделировать любое из 4-х геометрических условий перпен-

В о п р о с ы д л я п о в т о р е н и я:

1. Какие задачи называются позицион-ными?

2. Чем отличаются прямые позицион-ные задачи от обратных?

3. Каковы геометрические условия при-надлежности точки и прямой к плоскости?

4. Каковы изобразительные свойства ортогональных проекций точек и прямых, принадлежащих заданной плоскости?

5. Каковы основные количественные и

качественные результаты системного ана-лиза возможных вариантов взаимного рас-положения двух плоскостей в пространст-ве?

6. В чем заключается сущность метода

вспомогательных секущих плоскостей для решения позиционных задач на пересече-ние двух плоскостей общего положения?

7. Какова основная изобразительная особенность графического решения задачи на взаимное пересечение двух одинаково наклонённых и двух равнонаклоненных плоскостей?

дикулярности 2-х плоскостей (см. рис. 5.81).

Например, условие 4:

a É (р ^ b) Þ a ^ b.

Для того, чтобы его реализовать графически (рис 10.38), необходимо

прежде изобразить перпендикуляр р к

плоскости b (a х b) (см. решение зада-чи №6, рис.10.32), а затем дополнить этот перпендикуляр до задания плоско-сти a (p х q), для чего через проекции произвольной точки А на р провести произвольно проекции прямой q, кото-рая в паре с р задаст искомую плоско-

сть a ^ b.

На рис.10.39 графически смодели-ровано геометрическое условие №5:

a (е х q) || p ^ b Þ a ^ b.

Здесь плоскость b задана её лини-ями уровня, поэтому перпендикуляр к ней изображается наиболее просто:

р ₂ ^ f₂; p₁ ^ h₁.

Искомая плоскость a задаётся пря-мой q || p и произвольной прямой е общего положения.

В этой задаче прямая q фактически является ребром двугранного угла, гранями которого являются плоскости

a (q х e) и t (q || p), перпендикуляр-ные к плоскости b (f х h).

8. Каковы основные количественные и качественные результаты системного ана-лиза возможных вариантов взаимного рас-положения прямой линии и плоскости в пространстве?

9. Каков общий алгоритм решения пря-мой позиционной задачи на определение взаимного расположения прямой линии и плоскости?

10. Какова основная изобразительная особенность комплексного чертежа прямой линии, параллельной данной плоскости?

11. Какова основная изобразительная особенность комплексного чертежа прямой линии, перпендикулярной к плоскости?

12. В какой последовательности гра-фически решаются позиционные задачи на:

= перпендикулярность двух прямых ли-ний общего положения?

= взаимную параллельность двух пло-скостей?

= взаимную перпендикулярность двух плоскостей?