![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Решение задачи № 3 на принад-лежность точки и прямой к плоскости a (a || b).
Подробно рассмотрено на приме-рах решения задач №3.1 – 3.4. (см. рис. 10.1, 10.2).
Основано на графическом модели-ровании геометрических условий при-надлежности точки и прямой к плос-кости (см. рис.5.45).
1. .А Î a
А 2 Î а 2; А1 Î а1;
2. В Î b;
В 2 Î b 2 ; B1 Î b 1 ;
3. c ' [(A Î a)Ù(B Î b)]Þ c Î a;
c2 ' A 2, B 2;
c1 ' A1, B1;
4. K Î (c Î a) Þ K Î a;
K2 Î c2; K1 Î c1.
Решение задачи №4 на пересече-ние прямой с плоскостью в заданной точке. (см. рис.10.30).
В решении этой задачи графически моделируется условие 2 взаимного пе-ресечения прямой с плоскостью (см. рис. 5.48, п.2).
1. 1 Î f2° ; 3. K Î h;
12 Î f2°; K2 Î h2;
11 Î f1° º x12; K1 Î h1;
2. 1 Î h || h1°; 4. K Î a х a;
(h2 ' 12) || h2 °; K2 Î a2;
h1 ' 11 || h1 °; K1 Î a1.
Решение задачи №5 на паралле-льность прямой линии и плоскости
(рис.10.31).
1. a Î с;
с2 Î (12 , 22) Î a2 ;
с1 Î (11, 21) Î a1;
2. А Î d || c;
A2 Î d2 || c2;
A1 Î d1 || c1.
d || a
Решение задачи №6 на перпенди-кулярность прямой линии и плоскости
(рис.10. 32).
В этом решении графически моде-
лируется геометрическое условие пер-пендикулярности прямой к плоскости:
а ^ [(b x c = K)] Î a Þ a ^ a,
которое в общем случае требует пред-варительных рассуждений:
1. Если плоскость a занимает в пространстве общее положение, то перпендикуляр р к ней также занимает общее положение;
2. Если прямая р перпендикулярна к плоскости a, то она перпендикулярна ко всем прямым этой плоскости, в том числе и к тем двум пересекающимся b и с, которые определяются условием перпендикулярности прямой линии к плоскости;
3. Так как искомая прямая занимает в пространстве общее положение, то, для того, чтобы графически смодели-ровать её перпендикулярность к пло-скости a, необходимо, чтобы прямые b и с, принадлежащие этой плоскости, были бы её линиями уровня, ибо толь-ко при этом условии прямые углы между а и b, а и с спроецируются на соответствующие плоскости проекций в натуральную величину (см. рис. 9.16).
Отсюда вывод: Пересекающиеся пря- мые b и с в плоскости общего поло-жения, на которую необходимо опу-стить перпендикуляр, д о л ж н ы
б ы т ь е ё л и н и я м и у р о в н я.
В результате получается такая по-следовательность решения поставлен-ной задачи:
1. a (m х n) ' h || П1;
h2 ' [(12 Î m2) Ù (22 Î n2)] ^ A2A1;
h1 ' (11 Î m1) Ù(21 Î n1);
2. p1 ^ h1;
3. a (m х n) ' f || П2;
f1 ' [(31 Î m1) Ù 41 Î n1)] ^ A 2A1;
f2 ' (32 Î m2 ) Ù (42 Î n2);
4. p2 ^f2.
------------------------------------------------
p (p1 ^ h1 Ù p2 ^ f2) ^ a.
Утверждение 10.7. Если горизон-тальная проекция прямой линии пер-пендикулярна к горизонтальной проек-ции горизонтали плоскости, а фрон-тальная проекция прямой линии пер-
пендикулярна к фронтальной проекции
её фронтали, то изображённая пря-мая линия перпендикулярна к изобра-
женной плоскости, т.е.
p1 ^ h1, p2 ^ f2 Þ p ^ a ( f х h ).
![]() ![]() |
Рис. 10.33. Графические модели
прямых линий, перпендикулярных к плоскостям, заданным их линиями уровня.
![]() |
Рис.10.34. Графическая модель
плоскости, перпендикулярной к прямой
линии общего положения
![]() |
Рис.10.35. Графическая модель взаимно-перпендикулярных прямых
линий общего положения
Если плоскость задана её линиями уровня или следами, то решение этой задачи имеет простейший вид (рис.10. 33, а, б).
Решение задачи №7 (взаимной за- даче №6 ) на перпендикулярность пло-скости к прямой линии (рис.10.34).
В этом решении графически моде-лируется геометрическое условие пер-пендикулярности плоскости к прямой:
(b х c) Î a Ù(b ^ a, c ^ a) Þ a (b х c) ^ a,
т.е., если две пересекающиеся прямые,
принадлежащие плоскости a, порознь перпендикулярны к прямой линии а, то определяемая ими плоскость перпен-дикулярна к это линии.
Если прямая а занимает в прост-ранстве общее положение, то и перпен-дикулярная к ней плоскость также зани-мает в пространстве общее положение.
Так как все прямые плоскости, пер-пендикулярной к данной прямой, также перпендикулярны к ней, то для графи-ческого моделирования их перпендику-лярности необходимо, чтобы пара пе-ресекающихся прямых этой плоскости была бы парой её линий уровня (или искомая плоскость задавалась бы её горизонталью и фронталью).
Отсюда вытекает такая последова-тельность решения этой задачи:
1. А Î h ^ a;
A 2 Î h 2 ^ A 2 A1,
A1 Î h1 ^ a1.
2. A Î f ^ a;
A1 Î f1 ^ A 2 A1 ,
A 2 Î f2 ^ a 2.
--------------------------------
a (f х h) ^ a
Решение задачи №8 на перпенди-кулярность двух прямых общего поло-
жения (рис. 10. 35)
Если обе стороны прямого угла за-нимают в пространстве общее положе-ние, то этот угол не спроецируется ни на одну из плоскостей проекций в нату-
ральную величину.
Известно, что геометрическим мес-том всех перпендикуляров к данной прямой а является плоскость, перпен-дикулярная к ней.
Если такая плоскость a проходит через точку А вне прямой а, то она пе-ресечет эту прямую в точке К, которая определит с точкой А искомый перпен-дикуляр АК к прямой линии а общего положения.
Отсюда вытекает последователь-ность решения данной задачи:
1. А Îa (f х h) ^ a; (см. решение
задачи №7)
2. а Î s ^ П1,
s1 º а1 ..
3. b = s х a;
b1 º a1 º s1 º(11 Î f1) Ù (21 Î h1),
b2 ' (12 Î f2) Ù (22 Î h2)
4. К = b х a;
K2 = b 2 х a2;
K1 Î a1 º b1.
---------------------------
AK ^ a.
Решение задачи №9 на пересека-емость двух плоскостей по заданной прямой (рис.10.36)
Эта задача взаимна задаче №1 на построение линии пересечения двух плоскостей и является позиционной задачей на инцидентность плоскости к прямой линии.
Так как заданная по условию пря-мая а должна принадлежать искомым плоскостям, т.е., быть элементом их задания, то достаточно дополнить её до задания этих плоскостей.
Для этого достаточно через точку А прямой провести две некомпланарные прямые b и с, которые в паре с прямой а определят искомые плоскости a и b.
![]() |
Рис. 10.36. Графическая модель
двугранного угла при ребре АВ
![]() |
Рис. 10.37. Графическая модель двух взаимно параллельных плоскостей
![]() |
Рис. 10.38. Графическая модель двух взаимно-перпендикулярных плоскостей
![]() |
Рис. 10.39. Графическая модель плоскостей a (е x q) и t (р || q), перпендикулярных к плоскости
b (f x h).
Решение задачи №10 на паралле-льность двух плоскостей (рис.10.37)
В этом решении графически моде-лируется геометрическое условие па-раллельности двух плоскостей:
(а х b)Îa, (b х c)Î b Ù a || c, b || d Þ
Þ a || b.
Для этого через точку D вне плоско-сти a (D АВС) необходимо провести прямую с, параллельную стороне АВ и прямую d, параллельную стороне АС и графически промоделировать эти дей-ствия:
1. (D Ï a) Î c || AB;
D2 Î c2 || A2 B2;
D1 Î c1 || A1 B1/
2. D Î d || AC;
D2 Î d2 || A 2 C2;
D1 Î d1 || A 1C1 .
------------------------------
b (c х d) || a(AB х AC).
Решение задачи №11 на взаимную
перпендикулярность двух плоскостей (рис.10.38, 10.39).
Для решения этой задачи достаточ-но графически промоделировать любое из 4-х геометрических условий перпен-
В о п р о с ы д л я п о в т о р е н и я:
1. Какие задачи называются позицион-ными?
2. Чем отличаются прямые позицион-ные задачи от обратных?
3. Каковы геометрические условия при-надлежности точки и прямой к плоскости?
4. Каковы изобразительные свойства ортогональных проекций точек и прямых, принадлежащих заданной плоскости?
5. Каковы основные количественные и
качественные результаты системного ана-лиза возможных вариантов взаимного рас-положения двух плоскостей в пространст-ве?
6. В чем заключается сущность метода
вспомогательных секущих плоскостей для решения позиционных задач на пересече-ние двух плоскостей общего положения?
7. Какова основная изобразительная особенность графического решения задачи на взаимное пересечение двух одинаково наклонённых и двух равнонаклоненных плоскостей?
дикулярности 2-х плоскостей (см. рис. 5.81).
Например, условие 4:
a É (р ^ b) Þ a ^ b.
Для того, чтобы его реализовать графически (рис 10.38), необходимо
прежде изобразить перпендикуляр р к
плоскости b (a х b) (см. решение зада-чи №6, рис.10.32), а затем дополнить этот перпендикуляр до задания плоско-сти a (p х q), для чего через проекции произвольной точки А на р провести произвольно проекции прямой q, кото-рая в паре с р задаст искомую плоско-
сть a ^ b.
На рис.10.39 графически смодели-ровано геометрическое условие №5:
a (е х q) || p ^ b Þ a ^ b.
Здесь плоскость b задана её лини-ями уровня, поэтому перпендикуляр к ней изображается наиболее просто:
р 2 ^ f2; p1 ^ h1.
Искомая плоскость a задаётся пря-мой q || p и произвольной прямой е общего положения.
В этой задаче прямая q фактически является ребром двугранного угла, гранями которого являются плоскости
a (q х e) и t (q || p), перпендикуляр-ные к плоскости b (f х h).
8. Каковы основные количественные и качественные результаты системного ана-лиза возможных вариантов взаимного рас-положения прямой линии и плоскости в пространстве?
9. Каков общий алгоритм решения пря-мой позиционной задачи на определение взаимного расположения прямой линии и плоскости?
10. Какова основная изобразительная особенность комплексного чертежа прямой линии, параллельной данной плоскости?
11. Какова основная изобразительная особенность комплексного чертежа прямой линии, перпендикулярной к плоскости?
12. В какой последовательности гра-фически решаются позиционные задачи на:
= перпендикулярность двух прямых ли-ний общего положения?
= взаимную параллельность двух пло-скостей?
= взаимную перпендикулярность двух плоскостей?
Дата публикования: 2015-09-17; Прочитано: 439 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!