Графическая технология реше-ния задач на взаимную принадлеж-ность точек, прямых и плоскостей

НА РАЗЛИЧНЫЕ ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ

МЕЖДУ ПРЯМЫМИ И ПЛОСКОСТЯМИ

И ИХ ГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Понятие о позиционных задачах

Определение 10.1. Позиционными называются задачи на определение вида взаимного расположения в прост-ранстве двух геометрических объек-тов по их двухкартинному комплекс-ному чертежу или наоборот, на по-строение обратимого изображения таких двух объектов, взаимное распо-ложение которых в пространстве на-перед задано.

В данном случае под геометричес-кими объектами понимаются прямые линии и плоскости, а под «видом их вза-имного расположения» имеется ввиду то позиционное отношение или связь (принадлежность, пересечение, пер-пендикулярность и параллельность) ме-жду ними, которые конкретизируют их взаимную позицию в пространстве.

Из определения позиционных задач видно, что они делятся на прямые и обратные.

Решение прямых задач даёт ин-формацию о расположении объектов в пространстве и по отношению друг к другу, а решение обратных задач, – информацию о структуре обратимых изображений объектов, взаимное рас-положение которых в пространстве за-дано по условию.

Вполне очевидно, что оба вида за-дач решаются в картинном простран-стве, т.е., в режиме графического моде-лирования тех конкретных ситуаций, ко-торые определяются геометрическими условиями их взаимного расположения в эвклидовом пространстве. Поэтому, как и прежде, графическому модели-рованию ситуации конкретной задачи будет предшествовать её геометричес-кое, т.е., мысленное моделирование.

При этом следует помнить, что в пространстве объекты взаимно распо-лагаются так или иначе, подчиняясь конкретным условиям такого располо-жения, а на комплексном чертеже ин-формация о соблюдении этих условий

кодируется соответствующими графи-

ческими признаками как основой изо-бразительных свойств ортогональных проекций конкретных изображённых объектов.

Два геометрических объекта, рас-полагаясь в пространстве так или ина-че, образуют двухэлементную геоме-трическую систему.

У с л о в и я п р я м ы х з а д а ч:

Задача №1. Определить вид вза-имного расположения двух плоскос-тей в пространстве по их двухкар-тинному комплексному чертежу.

Задача №2. Определить вид вза-имного расположения прямой линии и плоскости по их двухкартинному ком-плексному чертежу.

У с л о в и я о б р а т н ы х з а д а ч:

Задача №3. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж точки и прямой, принадлежащих заданной пло-скости.

Задача №4. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж прямой линии, пересекающей плоскость в за-данной точке.

Задача №5. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж прямой, параллельной заданной плоскости.

Задача №6. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж прямой, перпендикулярной к заданной плоскос-ти.

Задача №7. (взаимная задаче №6). Построить двухкартинный комплекс-ный чертёж плоскости, перпендику-лярной к заданной прямой.

Задача №8. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж двух взаимно-перпендикулярных прямых

общего положения.

Задача №9. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж двух плоскостей, пересекающихся по за-данной прямой.

Задача№10. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж двух взаимно-параллельных плоскостей.

Задача №11. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж двух вза-имно-перпендикулярных плоскостей.

Вполне логично начинать рассмотре-

ние технологии графичного решения

позиционных задач вообще с решения

Рис. 10.1. Графические модели точки А, принадлежащей плоскости a

перечисленных обратных задач на на-перед заданное взаимное расположе-ние двух объектов в пространстве, так как следует ожидать, что на характере их решения будут сказываться особен-ности положения этих объектов по от - ношению к плоскостям проекций.

В связи с этим будет произведен системный анализ возможных положе-ний прямых и плоскостей в пространст-ве с обработкой его количественных и качественных результатов, на основе которой определятся условия и идеи решения двух прямых позиционных за-дач.

Графическая технология реше-ния задач на взаимную принадлеж-ность точек, прямых и плоскостей.

Исходя из принципа взаимности от-ношения принадлежности, можно для решения сформулировать следующие конкретные позиционные задачи:

Задача №3.1. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж точки А, принадлежащей заданной плоскости a

Задача №3.2. (взаимная). Постро-ить двухкартинный комплексный чер-тёж плоскости a, проходящей через заданную точку А.

Задача №3.3. Построить двух-картинный комплексный чертёж пря-мой а, принадлежащей плоскости a.

Задача №3.4. (взаимная). Постро-ить двухкартинный комплексный чер-тёж плоскости a, проходящей через прямую а.

Задача №3.5. Построить двухкар-тинный комплексный чертёж плоской фигуры (многоугольника).

Вполне очевидно, что содержанием процесса решения этих задач является графическое моделирование геометри-ческих условий взаимной принадлежно-сти точки, прямой и плоскости (см. главу 5, с.51).

Решение задачи №3.1. основано на утверждении, что точка принадлежит плоскости, если она принадлежит пря-мой, заведомо принадлежащей этой

плоскости или является элементом её

определителя.

Характер графического моделиро-вания этого условия определяется осо-бенностями положения изображаемой плоскости по отношению к плоскостям проекций (рис.10.1, а – е).

Выводы из решения:

1. Если плоскость a занимает част-ное положение, то принадлежность од-ной из искомых проекций точки А к вы-рожденной проекции плоскости явля-ется достаточным графическим при-знаком принадлежности этой точки к этой плоскости;

2. Если плоскость занимает общее положение, то для решения задачи №3.1 необходимо прежде графически промоделировать условие принадлеж-ности какой-либо прямой а, (или h) к этой плоскости, а затем – условие при-надлежности искомой точки к этой пря-мой (см. рис 10.1, д, е).

Другими словами, в общем случае решение задачи №3.1 состоит из двух действий:

2.1. на изображении данной плоско-сти изображается принадлежащая ей прямая (см. решение задачи №3.3);

2.2. на изображении прямой изо-бражается искомая точка.

3. Чтобы решить задачу №3.1 воб-щем виде, не прибегая к первому дей-ствию, необходимо изображать иско-мую точку на любом из элементов зада-ния или определителя плоскости.

Решение задачи №3.2. по своему конечному результату ничем не отлича-ется от решения задачи №3.1(рис.10.1).

Меняется последовательность графи-ческих операций по достижению этого результата.

Если изображается плоскость част-ного положения, то через одну из проек-ций точки прежде проводится её вырож-денная проекция, а затем строится вто-рая, невырожденная.

Если изображается плоскость об-щего положения, то через проекции точек проводят одноименные проекции двух произвольных несовпадающих прямых или одну произвольную прямую и ей параллельную, или, посчитав дан-ную точку за элемент определителя плоскости, проводят неинцидентную ей

прямую как второй элемент её опреде-

лителя и т. д.

Рис. 10.2. Графические модели прямой а, принадлежащей плоскости a

Рис. 10.3. Графические модели плоских фигур частного положения

Решение задачи №3.3. основано на графическом моделировании условий 2 и 3 принадлежности прямой к плоскости (рис.10. 2, а … д).

Выводы из решения:

1. Если плоскость a занимает част-ное положение, то принадлежность од-ной из проекций прямой а к вырожден-ной проекции плоскости является до - статочным графическим признаком принадлежности этой прямой к этой плоскости.

2. Если плоскость a занимает об-щее положение (рис.10.2, д), то проце-дура графического решения складыва-ется из двух действий:

2.1. на проекциях m₁, m₂ элемента m плоскости a выделяются проекции 1₁ , 1₂ точки 1;

2.2. через проекции 1₁, 1₂ точки 1 проводятся проекции а₁, а₂ искомой прямой а, параллельной прямой n

(a₂ | n_2, a₁ || n₁) и поэтому принадлежа-щей плоскости a (по условию 3). Или:

2.1. на проекциях элементов зада-ния плоскости a (m х n) выделяются проекции 1₂ Î m₂ ; 1₁Î m₁ ; 2₂ În₂ и 2₁În_1.

2.2. через одноименные проекции 1_2, 2₂ и 1₁, 2₁ проводятся соответст-вующие проекции b₂, b₁ искомой прямой b, принадлежащей плоскости a (по ус-ловию 2).

Решение задачи 3.4. по своему ко-нечному результату ничем не отличает-ся от решения задачи №3.3. Меняется последовательность операций по до-стижению этого результата.

Если плоскость занимает в прост-ранстве частное положение, то доста-

точно одну из проекций прямой привеc-

ти в тождественное расположение с вы-

рожденной проекцией этой плоскости.

Если плоскость занимает общее по-ложение, то достаточно данную прямую сделать элементом её задания или графически промоделировать условия 2 и 3 инцидентности плоскости к прямой линии.

Решение задачи №5. Так как плос-кой фигурой (многоугольником) явля-ется система компланарных прямых и точек их пересечения, то задача на по-строение её двухкартинного компле-ксного чертежа сводится к графичес-кому моделированию условий компла-нарности её конкурентных сторон.

Простейшей плоской фигурой явля-ется треугольник как система трёх пря-мых, попарно пересекающихся в трёх неколлинейных точках. Но, поскольку любые три неколлинейные точки опре-деляют плоскость, то для изображения произвольного треугольника достаточно построить комплексный чертёж трёх произвольных неколлинейных точек и попарно соединить их одноименные проекции отрезками прямых линий.

В результате получим плоскую конфи-

гурацию Дезарга (см. рис.9.30).

Если необходимо изобразить про-извольный четырёх-, пяти– или много-угольник, то произвольно можно изо-бразить только три неколлинейные его вершины, а изображение остальных вершин должно подчиняться законам графического моделирования их при-надлежности к плоскости, задаваемой тремя произвольно выбранными.

Плоские фигуры в пространстве могут занимать как частные (см. рис.

9.21--9.23, 10.3), так и общие положе-ния (см. рис.9.26)

Утверждение 10.1. Прямолинейно-сть одной из проекций плоской фигуры является достаточным графическим признаком компланарности его сто-рон и вершин.

Построение двухкартинного комп-лексного чертежа рассмотрим на при-мере.

Пример: В плоскости a общего поло-жения, заданной треугольником АВС, по-строить произвольный пятиугольник (рис.-10.4, 10.5).

Так как искомый пятиугольник произ-

волен, то вершины А, В и С можно

принять за три его вершины, а осталь-

ные две вершины D и Е подчинить ус-

Рис. 10.4. 1-й вариант решения примера

на построение проекций пятиугольника

Рис. 10.6. Геометрическая модель

горизонталей h плоскости a.

Рис. 10.7. Геометрическая модель

фронталей f плоскости a.

Рис.10.8. Геометрическая модель профильных прямых р плоскости a

ловию их принадлежности к плоскости трёх заданных.

Возможны два варианта графичес-кого решения этой задачи:

1-й вариант: на основе графическо-го моделирования условий принадлеж-ности точек и прямых к плоскости (рис.10.4);

2-й вариант: на основе теоремы Де - зарга (рис.10.5).

Построения не нуждаются в ком-ментариях.