Пересечение

10.4.1. Решение прямой задачи №1 (на определение взаимного располо-жения двух плоскостей по их двухкар-тинному комплексному чертежу)

Известно, что две плоскости могут совпадать или пересекаться (в том чис-ле под углами 0° и 90°). При этом каж-дая из них может занимать в простран-стве как частные, так и общее положе-ние.

Так как задача является прямой, то её непосредственному графическому решению должен предшествовать сис-темный анализ её возможных условий, определяемых особенностями положе-ния каждой из плоскостей по отноше-нию к плоскостям проекций.

Такой анализ удобно производит на основе предлагаемой табличной фор-мы (так называемой таблицы Кэли) (рис. 10.11).

Рассмотрение этой таблицы приво-дит к следующим количественным и ка-чественным результатам:

Количественные результаты:

1. В 24 случаях из 25 возможных информация о виде взаимного располо-жения двух плоскостей присутствует на двухкартинном комплексном чертеже непосредственно, т.е., в этих случаях решение задачи содержится в условии и сводится к снятию необходимой ин-формации на основе понимания соби-рательных свойств вырожденных про-екций проецирующих плоскостей.

2. Из этих 24 случаев в двух слу-чаях(п.п.3.3. и 4.4.) две плоскости меж-ду собой взаимно параллельны, в двух

(п.п. 3.4.и 4.3) взаимно перпендику-лярны, а в остальных, - взаимно пере-секаются.

Рис. 10.11. Варианты двухэлементных систем

взаимосвязанных плоскостей

Качественные результаты:

1. a ^ П₁ (П₂) Ù b ^ П₁ (П₂ ) Þ a х b =

= а ^ П₁ (П₂); (п.1.1, 2.2);

2. a ^П₂(П₁)Ù b ^ П₁ (П₂)Þ a х b = а;

(п.1.2, 2.1);

3. a || П₁ Ú^ П ₁Ù b ^ П₁ Ú|| П₁ Þ a х b =

= а ||П₁; (п.1.3, 3.1);

4. a || П₂ (^ П₁) Ù b ^ П₁ (|| П₂) Þa х b=

= а ^ П ₁; (п.1.4, 4.1);

5. a ^ П₂ (|| П₂)Ù b || П₂ (^ П₂) Þ a х b =

= а || П_{2 ;} (п. 2.4, 4.2);

6. a || П₁ (П₂ )Ù b || П₁ (П₂) Þ a || b

(п.3.3, 4.4)

7. a || П₁ (П₂) Ù b || П₂ (П₁) Þ a х b =

= а || П₁ (П₂) Ú ^ П₃ (п.3.4, 4.3);

8. a ∦ П₁ (П₂)Ù^ П₁ (П₂), b ^ П₂ (П₁) Þ

Þ a х b = а; (п.1.5, 5.1);

9. a ^ П₂ Ú (о.п.) Ù b ^ П₂ Ú (о.п.) Þ

a х b = а; (п.2.5.,5.2);

10. a || П₁ Ú(о.п.)Ù b (о.п.)Ú|| П₁ Þ a х b =

= а || П₁; (п.3.5, 5.3);

11. a (о.п.) Ú || П₂ Ù b (о.п.) Ú || П₁ Þ

a х b = а || П₂; (п.4.5, 5.4);

12. a (о.п.)Ù b (о.п.) Þ a х b = а;Ú a || b;

Ú a º b; Ú a ^ b.

Общие выводы из произведенного анализа:

1. Если две плоскости являются проецирующими одного направления, то они пересекаются по проеци-рующей прямой того же направления. В частности, такие плоскости могут быть параллельными и перпендикуляр-ными друг другу (п.1.1, 2.2);

2. Если две плоскости являются проецирующими разных направлений или одна из них занимает общее поло-жение, то они пересекаются по пря-мой общего положения (п.1.2, 2.1; 1.5, 5.1).

3. Плоскости уровня пересекают плоскости общего положение по их ли-ниям уровня (п.1.3, 3.1, 4.2,2.4, 3.5, 5.3, 4.5, 5.4);

4. Если две плоскости параллельны одной из плоскостей проекций, то они параллельны между собой (п. 3.3, 4.4).

5. Горизонтальная и фронтальная плоскости уровня пересекаются по профильно-проецирующей прямой

(п. 3.4,4.3).

6. Если обе плоскости занимают в пространстве общее положение, то они могут пересекаться по прямой об-щего положения, быть тождествен-ными, параллельными или перпендику-лярными.

Для установления конкретного вза-имного расположения двух плоскостей общего положения следует прибегать к помощи вспомогательных секущих пло-скостей частного положения, так как их вырожденные проекции, обладая соби-рательными свойствами, позволяют графически однозначно решить этот вопрос.