Решение прямой позиционной задачи № 2

(на определение взаимного располо-жения прямой линии и плоскости)

Известно, что прямая линия может принадлежать плоскости (см. рис 10. 2) и пересекать её как под произвольным углом, так и под углами в 0° и 90°. При этом как прямая линия, так и плоскость могут занимать в пространстве как ча-стные, так и общее положение, кото-рые определяют характер их конкрет-ного взаимного расположения.

Такая многовариантная ситуация также требует системного анализа воз-можных расположений прямой линии и плоскости в зависимости от их поло-жения в пространстве (рис 10. 25).

Рассмотрение приведенной систе-мной таблицы приводит к следующим результатам:

Количественные результаты:

1. Возможны 25 вариантов вза-имного расположения прямой линии и

плоскости, зависящих от их положения

Рис. 10.25. Варианты двухэлементных

систем прямых линий и плоскостей

в пространстве;

2. Из 25 в 19 случаях прямая с пло-скостью пересекается в собственной точке, в том числе в двух случаях (п. 3.1 и 4.2) они взаимно перпендику-лярны, т.е., пересекаются под прямым углом;

3. Параллельность прямой и плос-кости наблюдается в 6 случаях (п.п.1.1, 2.2, 3.3, 4.4, 3.2 и 4.1).

Качественные показатели:

1. а ^ П ₁ (П₂), a ^ П₂ (П₁) Þ

Þ а х a = К (п.п.1.2, 2.1),

2. а || П₁ (П₂), a ^ П₂ (П₁) Þ

Þ а х a = К; (п.п.3.4, 4.3),

3. а ^ П₁ (П₂), a ^ П₁ (П₂) Þ а || a;

(п.п. 4.1, 3.2),

4. а || П₁ (П₂), a || П₁ (П₂) Þ а || a;

(п.п. 3.3, 4.4),

5. а ^ П₁ (П₂), a || П₁ (П₂) Þ а ^ a;

(п.п. 3.1, 4.2),

6. а ^ П₁ (П₂), a || П₂ (П₁) Þ а || a;

(п.п.4.1, 3.2),

7. а || П₁ (П₂), a ^ П₁ (П₂) Þ а х a = К;

(п.п. 1.3, 1.4, 2.3, 2.4),

8. а || П₁ (П₂), a || П₁ (П₂) Þ а х a = К;

(п.п.3.4, 4.3),

9. а – (о.п.), a ^ П₁ (П₂) Þ а х a = К;

(п.п. 1.5, 2.5)

10. a ^ П₁ (П₂), а – (о.п.)Þ a х а = К;

(п.п. 3.5, 4.5),

11. а ^ П₁ (П₂), a -- (о.п.) Þ а х a = К;

(п.п. 5.1, 5.2).

Рис. 10.26. Варианты расположения

прямой а и плоскости

12. Если прямая линия параллель-на П₁ или П_2, а плоскость занимает об-щее положение, то их пересечение в собственной точке возможно (п.п. 5.3, 5.4).

13. Если прямая линия и плоскость

занимают в пространстве общее поло-жение, то их пересечение в собствен-ной точке возможно (п. 5.5).

Итак, первые 11 качественных ре-зультатов утвердительны, а два по-следних – предположительны.

Общие выводы из произведенного анализа:

1. Если прямая или плоскость или и прямая и плоскость занимают в про-странстве частные положения, то информация о виде их взаимного рас-положения с о д е р ж и т с я на их комплексном чертеже н е п о с р е д -

с т в е н н о и в этих случаях (22-х из 25) отпадает необходимость в гра-фическом решении задачи. Эта непо-средственность обусловлена собира-тетельными свойствами вырожден-ных проекций как прямых линий, так и плоскостей.

2. Если прямая линия и плоскость занимают в пространстве общее по-ложение, то их комплексный чертёж

н е с о д е р ж и т в себе непосред-ственной информации об их взаимном расположении.

Для того, чтобы такую информацию получить, необходимо прибегнуть к следующим конструктивным рассужде-ниям. Из эвклидовой геометрии извест-но, что:

1. прямая пересекается с плоско-стью в одной точке;

2. точка является результатом пе-ресечения двух прямых, и

3. прямая является результатом пересечения двух плоскостей.

Получается, что для построения точки К пересечения прямой линии а с плоскостью a достаточно принять эту точку за результат пересечения прямой линии а с прямой линией b, лежащей в плоскости a и являющейся результа-том её пересечения со вспомогате-

льной плоскостью s, проходящей через

прямую а (рис.10. 27, а, б, в). После-довательность этих операций образует о б щ и й а л г о р и т м решения пря-мой позиционной задачи № 2 на опре-деление взаимного положения прямой линии и плоскости:

1. а Î s;

2. b = s х a;

3. K = a х b.

K = a х a.

В частности, после построения ли-нии b = s х a может оказаться, что а º b

и тогда а Î a (рис.10.26, б) или а || b и тогда а || a (рис.10.26, в)