Графическая реализация алгоритма решения прямой позиционной задачи № 1

(на пересечение двух плоскостей)

Возможны различные варианты за-дания плоскостей общего положения, но следует помнить, что все они геоме-трически равноценны.

1. s ⊥ П₂ ;

2. а = s х a;

а₂ º s₂ ' 1₂ 2₂ Î a ₂;

а₁ ' 1₁2₁ Î a₁ ;

3. b = s х b;

b₂ º s₂ º a ₂ '(3₂4₂ Î b₂);

b₁ ' 3₁ 4₁ Î b₁;

4. M = a х b;

M₁ = a₁ х b₁; М₂ ∈ s₂ ;

5. t || s;

t₂ || s ₂;

6. c = t х a

c₂ º t₂ ' (5₂,C₂ Îa₂);

c₁ ' (5_1,C₁ Î a₁);

7. d = t х b;

d₂ º c₂ º t ₂ ' (7₂,8₂ Î b ₂);

d₁ ' (7₁, 8₁ Î b₁);

8. N = c х d;

N₁ = c₁ х d₁;

N₂ Î c₂ º d₂;

9. MN = m = a х b.

Если одна из плоскостей задана следами, то вспомога-

тельные секущие плоскости уровня s и t пересекают её по линиям уровня, на графичес-кие построения которых затра-чивается меньше времени.

(рис.10.14).

Вариант 3. Плоскости a и b заданы следами (рис.10.15, а,

б, в, г).

1. Если обе пересекающиеся плоскости заданы следами, однои-менные проекции которых пересе-каются в доступных точках, то до-статочно отметить точки их пересе-чения и соединить их одноименные проекции. Полученный таким обра-зом комплексный чертёж искомой линии пересечения требует мини-мальной затраты времени на его исполнение (рис.10.15, а,б).

2. Если одна пара следов пере-

Рис. 10.15. Графичесие решения варианта 3

прямой позиционной задачи №1

секается в доступной точке, а вторая, - - в недоступной, то для получения

второй искомой точки следует однажды

применить вспомогательную секущую

плоскость (желательно, уровня). Тогда она пересечет заданные плоскости по их линиям уровня которые, в свою оче-

редь, пересекутся между собой во вто-рой искомой точке (рис.10.15, в,г).

Вариант 4.:a (D АВС), b (D DEF).

Рис.10.16. Графическое решение

варианта 4 прямой позиционной

задачи №1

Вариант 5. Плоскости a и b общего положения наклонены к одной плоскости проекций под одинаковыми углами (рис.10.17).

Рис. 10.17. Пересечение одинаково наклонённых плоскостей

Линию пересечения двух плоскос-тей, заданных плоскими фигурами, ра-циональней строить по точкам встречи сторон одной фигуры с плоскостью дру-гой и наоборот, сторон второй фигуры с плоскостью первой.

Алгоритм решения:

1. DE Î s ^ П₂; 4. ВС Î t ^ П₁;

s ₂ º D₂ E₂; t₁ º B₁C₁;

2. a = s х a; 5. b = t х b;

a₂ º s ₂ º D₂E₂ ' b₁ º t₁ º (3₁4 ₁Î

' 1₂ 2₂ Î a₂; Î b₁);

a₁ ' (1₁ 2₁ Î a ₁); b₂ Î p₂;

3. М = a х DE; 6. N = DC х b;

М₁ = a₁ х D₁E₁; N₂ = 3₂ 4₂ х B₂ C₂;

М₂ Î D₂ E₂; N₁ Î B₁C₁;

7. MN = a х b.

В приведенном решении первой прямой позиционной задачи исполь-зуется алгоритм решения второй пря-мой позиционной задачи, содержащей

вместо четырех (см. рис.10.12) три гео-метро-графические операции по пост-роению одной точки искомой линии пе-ресечения. На этом также экономится время на выполнение графических построений.

Определение 10.7. Плоскости, сос-тавляющие с одной и той же плос-костью проекций метрически одина-ковые углы, называются о д и н а к о в о н а к л о- н ё н н ы м и.

На рис.10.17. показаны

плоскости a и b общего положения, наклонённые к П₁ под метрически рав-ными углами j°. В общем случае линия m их пере-сечения строится мето-дом вспомогательных се-кущих плоскостей (см. рис. 10. 12), однако, их одинаковый наклон к П₁ определяет положение горизонтальной проекции m₁ линии m их пересечения как биссектрисы угла между их горизон-тальными следами или горизонталь-ными проекциями их горизонталей.

Это очевидно из рис.10.17, где точка А на m является общей вершиной двух конгруэнтных прямоугольных треуго-льников АСА₁ и АDА₁, у которых одина-

наковые катеты А₁С и А₁D определяют равноудалённость А₁ от h°_{1 a} и h°_{1 b} Это

значит, что m₁, определяемая точками А₁ и В, является биссектрисой угла между горизонтальными следами плос-костей a и b, положение которой на П₁ не зависит от величины одинаковых уг-лов наклона j° этих плоскостей к го-ризонтальной плоскости проекций.

Если плоскости d и g одинаково на-клонены к П₂, то фронтальная проек-ция линии их пересечения является биссектрисой угла между их фронталь-ными следами (или фронтальными проекциями фронталей).

Отсюда вытекает общее правило: Если две плоскости общего положения наклонены к одной из плоскостей про-екций под одинаковыми углами, то, не-зависимо от величины этих углов, проекция линии их пересечения на эту плоскость является биссектрисой уг-ла между проекциями их линий уровня относительно этой плоскости.

Этим правилом следует руководст-воваться при графическом построении планов крыш зданий и сооружений, скаты которых одинаково наклонены к плоскости пола (рис. 10.18 --10. 20).

Рис. 10.18. План 4-хвальмовой крыши

Рис.10.19. План двухобъёмной крыши.

Рис. 10.20. План и фасад трёхобъёмной

крыши

Рис. 10.21. План и фасад

многообъемной крыши

Вариант 6: Плоскости a и b общего по-

ложения являются равнонаклонёнными к плоскостям П₁ и П₂ (рис.10.22, 10.23).

Как отмечалось выше (глава 9, оп-ределение 9.9, рис.9.33, 9.34), такие плоскости могут быть положительно и отрицательно наклонёнными к П₁ и П₂.

Поэтому возможны 3 варианта их соче-тания:

Сочетание 1. Обе плоскости отри-цательно равнонаклонены (рис.10.22);

Рис. 10.22. Проекции линии пересечения отрицательно равнонаклонённых плоскостей

Сочетание 2 . Обе плоскости поло-жительно равнонаклоненны (рис.10.23);

Рис. 10.23. Проекции линии пересечения положительно равнонаклонённых плоскостей

Сочетание 3. Одна плоскость по-ложительно, а вторая отрицательно равнонаклонённы. (рис. 10.24).

Рис. 10.24. Проекции линии пересечения положительно и отрицательно равнонакло-нённых плоскостей

В первом и втором сочетании резу-льтат очевиден из рис.10..22 и 10..23.

В первом сочетании фронтальные следы плоскостей пересекаются в точ-ке 1₂ на верхней поле плоскости П₂, а горизонтальные, - на задней поле плос-кости П₁ . В силу равноудалённости этих точек от оси х₁₂, после совмещения П₁ с П₂ эти точки приходят в тождественное расположение, т.е., 1₂ º 2₁. Отсюда сле-дует, что 1₁ совпадает с 2_2.

Соединив одноименные проекции этих точек, получим проекции m₁ и m₂ линии пересечения отрицательно рав-нонаклонённых плоскостей a и b, кото-рые перпендикулярны к оси х₁₂, т.е., яв-ляются проекциями профильной линии уровня.

Так же обстоит дело с построением проекций линии пересечения положи-тельно равнонаклонённых плоскостей второго сочетания (рис.10.23).

Отсюда вытекает следующее Утверждение 10.4: Если две плоскос-ти общего положения являются оди-наково равнонаклонёнными (т.е., либо положительно, либо отрицательно), то, независимо от величин одинако-вых углов их наклонов к плоскостям проекций П₁ и П₂, они пересекаются между собой по их общей профильной линии уровня.

Этим определяется главное изобра - зительное свойство ортогональных проекций такой линии пересечения – быть перпендикулярной к оси х₁₂.

Отсюда следует утверждение 10.5

(обратное утверждению 10.4): Если в результате построения проекций ли-нии пересечения двух плоскостей a и b оказывается, что они вертикальны и тождественны, то пересекающиеся плоскости являются равнонаклонён-ными к горизонтальной и фронталь-ной плоскостям проекций.

В третьем сочетании (рис. 10.24) плоскость a (h°_1a х f°_1b) положительно равнонаклонена, а её пересекают две произвольные отрицательно равнона-клонённые плоскости b и g.

Линий пересечения плоскости a с плоскостями b и g строятся по точкам пересечения их одноименных следов. Это пересекающиеся между собой от-

резки 12 и 45 общего положения, при-

надлежащие плоскости a.

Отличительной изобразительной особенностью проекций этих линий пе-ресечения является то, что, будучи раз-ноименными, они пересекаются при продолжении в точках, лежащих на од-ной вертикальной прямой чертежа, проходящей через точку U₁₂ схода сле-дов плоскости a.

Эта прямая позиционно является изображением профильной линии уров-ня плоскости a, конструктивно,- линией пересечения плоскости a с четной бис-секторной плоскостью d (см. рис.9.33), а проективно – осью s₀ родства между горизонтальной и фронтальной проек-циями компланарных прямых.

Утверждение 10.6. Если одна пло-скость положительно, а другая,- от-рицательно равнонаклонена к П₁ и П₂, то разноименные проекции линии их пересечения пересекаются на одной вертикальной прямой m, проходящей через точку схода следов положите-льно равнонаклонённой плоскости и совпадающей с разноименными проек-циями её профильной линии уровня.