Теоретические сведения. Пусть функция f(х) определена на промежутке (а,b), точка x0 – произвольная точка из области определения функции

Пусть функция f(х) определена на промежутке (а,b), точка x ₀ – произвольная точка из области определения функции. Обозначим через Δ f(x₀)= f(x_o + Δ х) – f(x₀), т.е. приращение функции в точке x₀, вызванное приращением Δ x независимой переменной х. Производной функции f(х) в точке х = x₀, х₀Î(а,b), называется предел отношения приращения функции Δ f(x₀) к приращению Δ x при стремлении Δ x к нулю, т.е.

.

Здесь – производная функции f(х) в точке х₀Î(а,b).

Если функция f(х) определена при x ³ x ₀, то можно определить правую производную функции f(х) в точке х₀:

.

Аналогично определяется левая производная функции f(х) в точке х₀, если функция f(х) определена при x ≤ x ₀:

.

Функция f(х) имеет в точке x₀ производную тогда и только тогда, когда в точке x₀ совпадают ее левая и правая производные:

.

Выражение для производной функции в Mathcad можно найти двумя способами: с помощью панели инструментов Calculus и через меню символьных операций Symbolics.

Чтобы найти производную, щелкните по свободному месту в рабочем документе, по иконке в панели Calculus, введите с клавиатуры в помеченных позициях имя или выражение функции и аргумента, заключите все выражение в выделяющую рамку и щелкните по подпункту Symbolically в пункте Evaluate меню Symbolics. Можно, поместив курсор после выражения для производной, использовать оператор символьных вычислений → (горячая клавиша – Ctrl+.)

При вычислении производных высших порядков, выбирают иконку в панели Calculus, а дальше действуют так же, как и при вычислении производной первого порядка.

Чтобы найти производную с помощью меню, введите в рабочий документ выражение для функции, выделите аргумент и щелкните по подпункту Differentiate в пункте Variable меню Symbolics.

Рассмотрим пример вычисления средствами Mathcad первой и второй производной функции f(x)=x^x.

Примечание. В данном примере первая производная сначала вычислена с помощью пункта меню Symbolics/Evaluate/Symbolically, затем с помощью пункта меню Symbolics/Variable/Differentiate, а вторая производная вычислена с помощью оператора символьных вычислений →.

В следующем примере вычисляется производная функции

Поскольку при х ₀=0, то существует. Производная функции f (x) здесь описана как функция p (x), а ее выражение получено в символьном виде.

Рассмотрим различие производных функций f (x) и | f (x)|:

Рис. 11. Графики f (x) и | f (x)|.

Производная функции | f (x)| в точках х =2 и х = –2 не существует, поскольку ее левая и правая производные в этих точках не совпадают (см. рисунок 11).