Теоретические сведения. Последовательность {an} – это функция, заданная на множестве натуральных чисел N

Последовательность { a_n } – это функция, заданная на множестве натуральных чисел N. Число а называется пределом последовательности { а_n }, если для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, существует такой номер N, что для всех а_n с номерами n > N справедливо неравенство .

Неравенство означает, что для любого ε >0 все а_n с номерами n > N расположены между a –ε и a + ε.

Последовательность, предел которой – число а, называется сходящейся, и ее предел обозначают .

Если изобразить элементы последовательности а_n на плоскости точками с координатами (п, а_n). то неравенства a –ε< а_n < a +ε означают, что все точки (п, а_n) с номерами п > N расположены между прямыми a –ε и a + ε, параллельными оси абсцисс.

Инструменты Mathcad вычисления пределов последовательностей и функций собраны в панели инструментов Саlсulus. Иконка соответствует оператору вычисления предела в точке или на бесконечности, иконки – операторам вычисления односторонних пределов соответственно справа и слева. При вычислении пределов последовательностей элемент последовательности должен определяться как функция номера элемента, и вычисление предела производится при стремлении номера к бесконечности. Вычисление предела должно производиться в символьном виде, т.е. вместо знака равенства используется знак символьных преобразований → (горячая клавиша – Ctrl+.)

Ниже приведен пример исследования сходящейся последовательности и построен график (рисунок 7), иллюстрирующий процесс ее сходимости.

Рис. 7. Сходимость последовательности .

Из приведенных расчетов видно, что для данной последовательности условие , где ε =0.1, выполняется при n >7.

Последовательность { a_n }, предел которой равен нулю, называется бесконечно малой. Ниже приведен пример исследования бесконечно малой последовательности и ее график (рисунок 8). Как видно из рисунка, условие , где ε =0.1, выполняется для данной последовательности при n ≥10.

Рис. 8. Сходимость последовательности .

Последовательность { a_n } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М, как бы велико оно ни было, существует такой номер N, что для всех а_n с номерами n > N справедливо неравенство .

Рис. 9. Исследование бесконечно большой последовательности.

На рисунке 9 представлен пример исследования бесконечно большой последовательности и ее график. Согласно приведенным расчетам, неравенство выполняется:

для n >7 при М =30;

для n >30 при М =40.

Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности (a –Δ, a + Δ) точки а, Δ >0, за исключением, может быть, самой точки а. Число А называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а, если для любой сходящейся к а последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А. Число А называют пределом функции f(x) в точке а и обозначают . Если , то для любого положительного числа ε, как бы мало оно ни было, существует такое положительное число δ, что точки с координатами , для которых и , лежат на плоскости Оху внутри прямоугольника .

Если для любой последовательности значений соответствующая последовательность значений функции f(x_п) является бесконечно большой, то функция f(x) называется бесконечно большой в точке а. Если f(х) бесконечно большая в точке а, то для любого положительного числа М, как бы велико оно ни было, существует такое число δ >0, что для всех х. удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

На рисунке 10 представлен пример функции , являющейся бесконечно большой в точке х =1.

Рис. 10. Бесконечно большая в точке х =1 функция.