Теоретические сведения. При проведении ряда повторных независимых испытаний событие А может появиться с некоторой вероятностью р и не появиться с вероятностью q=1–p

При проведении ряда повторных независимых испытаний событие А может появиться с некоторой вероятностью р и не появиться с вероятностью q =1– p. Ставится задача определить вероятность того, что в n испытаниях событие А появится ровно т раз. Искомая вероятность определяется отношением:

Данная формула является единственной точной формулой в схеме независимых повторных испытаний. Однако, использовать ее можно в ограниченных условиях (n ≤ 15, р отлично от 0 и 1). Поэтому на практике часто используют приближенные формулы, например, формулу Пуассона:

, где l = n∙p.

Исхода из условия, формулу Пуассона удобно применять при n ®¥, р ®0. Если же р существенно отличается от нуля, то используется локальная теорема Муавра–Лапласа:

, где .

Отыскание вероятности того, что число m появления события А заключено в некотором интервале от т ₁ до т ₂, связано с интегральной теоремой Муавра–Лапласа:

,

.

Если значение п∙р∙q сравнительно невелико, то лучшее приближение дает формула

,

.

Интегральная теорема Муавра–Лапласа позволяет найти вероятность того, что отклонение относительной частоты появления некоторого события m/n от постоянной вероятности по абсолютной величине не превысит заданного положительного числа ε:

, где .

Можно определить количество испытаний, необходимых для того, чтобы отклонение относительной частоты успехов m/n от вероятности р было меньше ε с вероятностью, большей или равной β, то есть найти n, для которого выполняется неравенство:

.

Доказано, что число n обеспечивает выполнение этого неравенства, если оно удовлетворяет соотношению , где х_β – решение уравнения .

Если вероятность р известна, то необходимое число испытаний определяется формулой , значение корня уравнения дает встроенная в Mathcad функция qnorm(a,0,1).

Для вычисления значений функции Лапласа Ф(х) предназначена функция pnогш(х,0,1).

В Mathcad имеется ряд функций, реализующих некоторые случайные распределения, например:

биномиальное распределение – dbinom(k,n,p), pbinom(k,n,p), qbinom(k,n,p);

нормальное распределение – dnorm(x,μ,σ), pnorm(x,μ,σ), qnorm(x,μ,σ);

распределение Пуассона – dpois(х,l), ppois(х,l), qpois(х,l).