Приклади задач, розв’язання яких ґрунтується на застосуванні інверсії

Суть методу інверсії при розв’язуванні геометричних задач полягає у тому, що поряд із заданими та шуканими точками, прямими та колами розглядаються також інверсні до них відносно певного кола фігури, тобто деякі інші точки, прямі та кола. При вдалому виборі кола інверсії це часто надає можливість звести початкову задачу до простішої. Покажемо це на окремих прикладах.

Задача 1. Побудувати коло, яке проходить через певну точку та дотикається до двох заданих кіл, що дотикаються між собою.

Розв’язання. Нехай задано точку та два кола та , які дотикаються у точці . Виберемо коло з центром у точці довільного радіуса у ролі кола інверсії. При інверсії точка відобразиться у деяку точку (якщо вибрати , то точки та будуть співпадати). Фігури, які будуть інверсними до кіл та , являтимуть собою, очевидно, дві паралельні прямі та , які не проходять через точку (теорема 2), а шукане коло (назвемо його ) перетвориться у коло , яке проходитиме через точку та матиме із прямими та по єдиній спільній точці, тобто буде до них дотикатися (рис. 8).

Задача про побудову кола , яке проходить через точку та дотикається до двох паралельних прямих та , є простішою. Радіус такого кола дорівнює половині відстані між паралельними прямими, а його центр розташований на середній лінії смуги, яка утворена паралельними прямими, та на відстані, яка дорівнює радіусу цього кола, від точки .

Після побудови кола ще одна інверсія переведе його у шукане коло . Справді, воно буде проходити через точку, інверсну до точки , тобто через точку , а також, маючи по єдиній спільній точці з прямими та , матиме також по єдиній спільній точці з колами та , тобто дотикатиметься до них.

У залежності від взаємного розташування заданих в умові задачі точки та кіл, можна отримати нуль, один або два розв’язки.

Зауважимо, що радіус кола інверсії доцільно вибрати так, щоб воно перетинало кола та , оскільки тоді побудова інверсних до кіл прямих здійснюється простіше, а саме за допомогою двох пар точок перетину заданих кіл з колом інверсії.

Задача 2. Побудувати коло, яке дотикається до даного кола, а також проходить через дві задані точки, які не належать колу.

Розв’язання. Нехай задано точки та і коло . Виберемо в ролі кола інверсії коло з центром у точці , радіус якого рівний довжині дотичної, проведеної з точки до кола . При інверсії відносно цього кола точка відобразиться у деяку точку , коло відобразиться на себе, оскільки воно ортогональне до кола інверсії (теорема 3), а шукане коло , яке проходить через центр інверсії, перетвориться у пряму , яка проходить через точку та має із колом єдину спільну точу, тобто дотикається до нього (рис. 9).

Задача на мові інверсних фігур звелася до побудови прямої , яка проходить через точку та дотикається до кола . Один із способів розв’язання одержаної допоміжної задачі виглядає так. На відрізку, який сполучає дану точку з центром кола, як на діаметрі будується коло. Прямі, які проходять через дану точку та токи перетину двох кіл, є шуканими дотичними (рис. 10).

Наступна інверсія переводить одержані прямі у шукані кола . Справді, вони будуть проходити через центр інверсії – точку , точку , яка інверсна до точки , а також, маючи єдину спільну точку з колом , дотикатиметься до нього.

Задача може мати два, один або не мати жодного розв’язку у залежності від того, як розташовані точки відносно кола. Якщо одна з точок розташована всередині кола, а друга поза ним – то розв’язків не буде, а якщо обидві точки одночасно знаходяться всередині кола, або поза ним – то задача матиме два розв’язки.

Задача 3. Побудувати коло, яке дотикається до даних прямої та кола, а також проходить через задану точку.

Розв’язання. Нехай задано точку , пряму та коло . Як і у попередній задачі, виберемо в ролі кола інверсії коло з центром у точці , радіус якого дорівнює довжині дотичної, проведеної з точки до кола (рис. 11). При інверсії відносно цього кола коло відобразиться на себе, оскільки воно ортогональне до кола інверсії.

Нехай . Тоді пряма перейде у коло , яке проходить через точку , а шукане коло , яке проходить через центр інверсії, перетвориться у пряму , яка не проходить через точку . Оскільки коло має з прямою та колом єдину спільну точку, то пряма , маючи із колами та єдину спільну точку, буде дотикатися до них. Побудувавши пряму , яка дотикається до кіл та , а потім інверсувавши її відносно кола , отримаємо шукане коло .

Опишемо побудову спільної дотичної до двох кіл та з центрами у точках та , радіуси яких та задовольняють умову (якщо , то побудова дотичної очевидна). Якщо радіуси обох кіл зменшити на число , то коло перетвориться у коло з центром у точці та радіусом , а коло виродиться у точку . При цьому шукана дотична зміститься паралельно у напрямку точки на відстань (рис. 12) та перетвориться у дотичну до кола , яка проведена з точки . Спосіб побудови дотичної до прямої ми розглядали у попередній задачі.

Розглянуті міркування дозволяють побудувати так звані зовнішні дотичні. Пропонуємо самостійно відшукати також спосіб побудови внутрішніх дотичних, коли задані кола розташовані у різних півплощинах відносно дотичної.

Якщо точка , то центр шуканого кола буде знаходитися у точці , в якій перетинається перпендикуляр , проведений до прямої у точці , із серединним перпендикуляром до відрізка . Точка знаходиться на перетині прямої із прямою , яка знаходиться на відстані від прямої (рис. 13).

Зауважимо, що розглянуті вище задачі є частинними випадками відомої задачі Аполлонія, яка полягає у побудові кола, яке дотикається до трьох заданих кіл. Ми розглянули три частинні випадки даної задачі, зокрема вироджені випадки, коли радіус одного із кіл рівний нулю і коло вироджується у точку, або коли радіус одного із кіл рівний і коло вироджується у пряму.

Пропонуємо розглянути розв’язок задачі у загальному випадку, тобто при довільному розташуванні трьох кіл. Для цього при необхідності можна використати, наприклад, посібник .