Властивості рухів

Позначимо множину всіх рухів через та нехай . Очевидно, що:

1) композиція двох переміщень, тобто перетворення , теж є рухом;

2) перетворення, обернене до руху, є рухом.

Справді, нехай рух переводить відрізок у рівний йому відрізок , а рух переводить відрізок у рівний йому відрізок . Тоді, оскільки , то при перетворенні зберігаються відстані між точками.

Із умов 1), 2) випливає, що множина всіх рухів утворює групу. Позначимо її через . Ця група є підгрупою групи афінних перетворень.

У попередній лекції ми домовилися у випадку афінне перетворення називати власним, а при – невласним. Якщо афінне перетворення є рухом, то при це власне перетворення називають рухом першого роду, а при – рухом другого роду.

Пропонуємо самостійно обґрунтувати ті факти, що тотожне перетворення є рухом першого роду, композиція двох рухів першого роду або двох рухів другого роду є рух першого роду, а композиція двох рухів різного роду є рух другого роду. Перетворення, обернене до руху першого роду, є рухом першого роду. Тому рухи першого роду утворюють підгрупу групи рухів. Множина рухів другого роду групи не утворює, оскільки композиція двох рухів другого роду не є рухом другого роду.

Група рухів, будучи підгрупою групи афінних перетворень, володіє всіма властивостями останньої. Тому:

1) при русі вектор переходить у вектор з такими ж координатами, зокрема колінеарні вектори відображаються у колінеарні (зауважимо, що координати векторів розглядаються відносно різних базисів);

2) рух відображає пряму на пряму, а паралельні прямі переводить у паралельні, причому відстані між парами цих паралельних прямих рівні;

3) при русі відрізок переходить у рівний відрізок, а точка, яка ділить відрізок у деякому відношенні, переходить у точку, яка ділить образ відрізка у такому ж відношенні. Зокрема, при русі точка, яка є серединою відрізка переходить у точку, яка є серединою відрізка;

4) рух переводить півплощину у півплощину.

Крім перерахованих властивостей рухів вони, очевидно, володіють також деякими іншими властивостями, які не характерні для всієї групи афінних перетворень. Зокрема

5) при русі зберігається скалярний добуток векторів.

Дане твердження є наслідком властивості 1), а також того, що рух переводить ортонормований репер в ортонормований. Тому

6) при русі кути переходять у рівні кути, зокрема перпендикулярні прямі переходять у перпендикулярні.

Назвемо дві фігури та конгруентними, якщо в групі рухів знайдеться перетворення, яке фігуру переводить у фігуру .

Відношення конгруентності є рефлексивним, симетричним та транзитивним. Справді,

1) кожна фігура переводиться в себе тотожнім перетворенням;

2) якщо фігура конгруентна фігурі , то фігура конгруентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї оберненим перетворенням;

3) якщо фігура конгруентна фігурі , а фігура – фігурі , то фігура конгруентна фігурі , оскільки вона переводиться в неї рухом, який є композицією двох рухів, перший з яких переводить у , а другий – у .

Відомо, що відношення, яке володіє властивостями рефлексивності, симетричності та транзитивності є відношенням еквівалентності. Відношенням еквівалентності, задане на деякій множині, розбиває цю множину на класи еквівалентності.

Відношення конгруентності, яке, в силу зроблених вище зауважень, є відношенням еквівалентності, розбиває множину всіх геометричних фігур на класи конгруентних фігур.

Дві фігури, які належать одному класу конгруентності, називають рівними.

Наприклад, клас конгруентних трикутників (або чотирикутників) утворюють всі трикутники (чотирикутники), у яких рівні відповідні сторони та кути. Всі кола однакового радіуса конгруентні. Нагадаємо, що у шкільному курсі геометрії доводиться ряд теорем, які визначають клас конгруентних трикутників. Це так звані ознаки рівностітрикутників. Відповідно до цих теорем, для рівності двох трикутників достатньо, щоб вони мали:

1) по три рівні сторони,

2) по дві рівні сторони та рівні кути між ними,

3) по рівній стороні та по два рівні прилеглі до них кути.