Означення інверсії Найпростіші властивості. Побудова інверсних точок

Розглянемо множину всіх точок площини, крім деякої точки , та побудуємо відображення даної множини на себе. Для цього використаємо коло із центром у точці та радіусом . Кожній точці площини поставимо у відповідність таку точку , яка належить променю та виконується рівність

. (1)

Оскільки при такій відповідності різні точки переводяться у різні та кожна точка має єдиний прообраз, то дане відображення є перетворенням площини із “виколотою” точкою . Таке перетворення називають інверсією із центром у точці та коефіцієнтом . Коло називають колом інверсії. Позначимо інверсію символом . Очевидно, що якщо , то .

Із означення випливають такі найпростіші властивості інверсії:

1) точки кола відображаються у себе;

2) точки, які розташовані всередині кола, відображаються у точки, які розташовані поза колом, а точки, які розташовані поза колом інверсії, відображаються у точки, які розташовані всередині кола;

3) якщо точка необмежено наближається до точки , то інверсна їй точка рухається у нескінченність. Як наслідок, відстані між точками при інверсії не зберігаються;

4) якщо точка при інверсії переходить у точку , то точка переводиться у точку . Точки та називають інверсними.

5) якщо при інверсії фігура переходить у фігуру , то фігура переводиться у фігуру .

Розглянемо способи побудови інверсних точок. Нехай точка розташовані всередині кола . Проведемо промінь та побудуємо у точці перпендикулярну до нього пряму . Нехай точка – одна із точок перетину прямої та кола . Точка, у якій перетинаються промінь та дотична до кола, яка проведена у точці , є шуканою інверсною точкою (рис. 1). Справді, із подібності прямокутних трикутників та випливає, що , тому , тобто точка є інверсною до точки .

Якщо точка розташована поза колом, то з неї спочатку проводять дотичну до кола, а потім з точки дотику опускають перпендикуляр на промінь . Точка перетину перпендикуляра із променем є шуканою інверсною точкою.