Еліптичний параболоїд. Властивості. Зображення

Еліптичний параболоїд – це поверхня, яка у деякій прямокутній системі координат може бути задана рівнянням

. (9)

Дане рівняння називають канонічним рівнянням еліптичного параболоїда. Серед деяких властивостей цієї поверхні відмітимо, що вона симетрична відносно координатних площин , та осі . Це випливає з того, що разом з точкою поверхні належать також точки , , та . Існує єдина спільна точка поверхні та координатих осей – це початок координат. Всі інші точки поверхні розташовані над площиною .

Перерізи поверхні площинами , де , утворюють еліпси

однакової форми, півосі яких та збільшуються при зростанні . Це означає, що розміри еліпсів збільшуються, якщо площина віддаляється від площини . Площини виду та перетинають еліптичний параболоїд по параболах

та ,

вітки яких напрямлені вгору, а вершини зміщуються вверх при зростанні та . Еліптичний параболоїд зображено на рисунку 4.

Зауважимо, що дану поверхню можна одержати, виготовивши каркаси двох парабол , та рухаючи одну з них по другій так, щоб вершина рухомої параболи залишалась на нерухомій параболі . При цьому площини парабол повинні бути перпендикулярними, а їхні вітки напрямлені в одну сторону.

При площини () перетинають поверхню по колах, тому рівняння задає поверхню, яку називають параболоїдом обертання з віссю обертання . Такі поверхні мають широкі технічні застосування, які ґрунтуються на так званій оптичній властивості параболоїда обертання. Зміст її полягає в тому, що якщо в точці , так званому фокусі параболоїда, помістити джерело світла, то відбиті від поверхні промені будуть поширюватися по прямих, які паралельні до осі параболоїда. Прикладами такої поверхні є різного роду антени, зокрема параболічні, рефлектори, деякі види лінз. Форму параболоїда обертання набирає вода, налита в циліндричну посудину, якщо останню обертати з певною кутовою швидкістю навколо своєї осі.