Поняття конічної поверхні. Рівняння конічних поверхонь

Нехай у просторі задана деяка лінія та точка .

Означення 2. Множину всіх прямих, які перетинають задану лінію та проходять через дану точку , називають конічною поверхнею.

Знайдемо рівняння конічної поверхні, вважаючи, що лінія задана системою рівнянь

,

а точка задана своїми координатами: .

Нехай точка належить конічній поверхні. Проведемо через неї та точку пряму, яка перетне лінію в деякій точці (рис. 3).

Очевидно, що вектори та будуть колінеарні. З рівності дістаємо співвідношення, які пов’язують координати векторів:

. (4)

Оскільки точка належить лінії , то виконуються рівності

,

підставляючи в які співвідношення (4), дістаємо

.

Виключаючи з одержаних рівностей змінний параметр , дістаємо співвідношення

,

яке і є рівнянням конічної поверхні. Лінію називають напрямною, прямі, які перетинають та проходять через точку - твірними, а точку - вершиною конічної поверхні.

Складемо рівняння конічної поверхні, напрямною якої є лінія

,

тобто еліпс, розташований в площині , а вершина знаходиться у початку координат. Нехай точка належить конічній поверхні, а точка належить заданій напрямній та променю . З векторної рівності дістаємо

.

Підставивши одержані співвідношення у систему

,

отримуємо рівності

,

звідки, виключаючи параметр , дістаємо

. (5)

Одержане рівняння є рівнянням шуканої конічної поверхні. При напрямна буде колом, а рівняння (5) зведеться до виду

.

Це рівняння задає поверхню другого порядку, яку називають круговим конусом (рис. 4).